据已公布消息，2020年IMO（国际数学奥林匹克竞赛）中国国家队名单，6名征战选手全部确定。

其中老牌强校：中国人民大学附属中学、华南师范大学附属中学、南京师范大学附属中学、 浙江乐清知临中学，连续两年都有学生进入IMO国家队。

但今年还有另一值得关注亮点：

时隔10年，中国奥数国家队再次有女选手入选。

而且入选者严彬玮，正是现今中国奥数的新晋“一姐”。

上一次中国奥数国家队类似情况，还要追溯到2010年的华中师大一附中的张敏，她在第51届IMO斩获金牌，后来保送进入北大数院。

完整奥数国家队名单，我们详解如下：

南风盖北风：6人国家队，5人出自南方高中

严彬玮

严彬玮，当前中国奥数当之无愧的“一姐”，来自南京师范大学附属中学，今年高三。

最新的战绩是今年3月参加罗马尼亚数学大师赛，拿下全球第三的成绩。在去年11月底举办的第35届中国奥数竞赛（CMO）中，获得第一名。

严彬玮早在初中就展现出奥数天赋，初三时首次参赛就超过了诸多高中选手。

在去年底作为国家集训队选拔的“第35届中国数学奥林匹克竞赛”中，严彬玮更是以满分成绩斩获第一名，并且率队江苏省代表队获得团体第一名。

而且围绕严彬玮，也有成绩之外的讨论展开，因为她正在为诸多女生学习数理化正名且树立榜样。

男生和女生学习数理化究竟大脑机制是否有差别，是全球范围内都喜欢谈论的话题。

但有严彬玮这样的实力，可以说明很多问题。

依嘉

依嘉，来自人大附中，今年高二。是去年IMO金牌选手邓明扬的同班同学。

在2019年的CMO中，依嘉以108分的成绩获得全国第二名，进入国家集训队。

依嘉是本次唯一来自北方（北京）高中的国家队队员。

人大附中作为北京奥数届的扛把子，历史荣誉和金牌成绩也一直名列全国前茅。

2019年CMO比赛中，人大附中就以9块金牌的成绩位列全国第一，而依嘉则是其中表现最好最稳定的选手。

并且提到人大附中，还得提一下他们拥有的另一位数学物理双料国家集训队选手孙睿，他此次选择了代表国家奥林匹克物理国家队出战。

此外，人大附中也是后浪汹涌，2019年进入国家奥数集训队的郑云兮、刘陌溪、陈誉霄，来自高一，郑和陈更是只有14岁，而他们的学弟廖昱博，更是以13岁的年龄斩获全国金牌。

人大附中，真是英才辈出。

李金珉

李金珉，来自重庆市巴蜀中学校。在2019年CMO竞赛中，巴蜀中学校一共拿下了7枚金牌，与成都七中并列第四。

而李金珉作为全国第三名，也是重庆学生在中国奥林匹克数学竞赛中的最高排名。

清北之间，李金珉选择了在数学方面底蕴深厚的北大。

根据中国网报道，他已经获得了北京大学数学英才班认定，这个历来只从高二学生中选拔人才的班级，也是北大全球顶尖的数学力量储备军。

今年与他一同被认定的的，巴蜀中学校还有两位，分别是陈轶钊、张书齐。

这一届，全国一共有43人得到了北京大学数学英才班入围资格，均为CMO获奖选手。

但入围并不一定被录取。据悉，北大数学英才班，最后只选拔不超过30人。

饶睿

饶睿，来自华南师范大学附属中学，高二。

2019年，他就和同学胡苏麟、刘明扬一起入选了第34届CMO国家集训队，并获北大保送资格。

去年11月，他再次参加CMO刷新了自己的成绩——全国第四，这也是奥赛强省广东最好的成绩。

2019年35届CMO，广东省一共拿下了14枚金牌，与湖北并列第一。华南师范大学附属中学和深圳中学是其中主力。

前者是广东老牌强校，一直在为国家数学竞赛输送人才。

而深圳中学，是近年来的后起之秀，凭借着高薪招聘清华北大博士、硕士毕业生的动向，一再出现在人们的视野中。

从CMO的结果（6人获得了金牌，3人入选最后国家集训队）来看，它的投入显然得到了回报。

韩新淼

韩新淼，来自浙江乐清市知临中学，今年高三。他高一就开始参加中国数学奥林匹克竞赛，并拿到了全国第二的成绩。此后连续3年入选国家集训队。

2019年，他在第35届CMO中排名第五。据温州商报报道，韩新淼已被清华大学预录取。

乐清市知临中学虽然是一所民办县级中学，在竞赛方面，却能与杭州二中、学军中学、镇海中学这些老牌名校一较高下。

△从左至右：谢柏庭、韩新淼、潘至璇、卓景彬，图片来自《乐清日报》

2018年CMO，知临中学就有4名选手拿下金牌，入选国家集训队。其中，潘至璇斩获2018年CMO全国第一名，谢柏庭最终入选国家队，在IMO赛场上摘下一枚金牌。

梁敬勋

梁敬勋就读于杭州学军中学，高三。2019年，他在第35届CMO竞赛中排名第六，并在今年3月份举办的罗马尼亚数学大师赛上斩获金牌。

在2017年考入学军中学之后，梁敬勋就展现出了数学天赋，高一就拿下了全国高中数学联赛二等奖。

2018年举办的34届CMO上，高二的梁敬勋拿下金牌，并进入国家集训队，并被保送到姚班。

杭州学军中学建于1956年，同样是浙江的竞赛强校，近年来在各科奥数竞赛上频频出现。

在数学方面，虽然每年的CMO，其都有学生斩获金牌，进入国家集训队，但近年来鲜有选手进入国家队。

所以这次梁敬勋的入围，杭州的《都市快报》称为杭州近年来最好的成绩。

△梁敬勋，图片来自浙江《都市快报》。

特殊的国家队选拔方式

按照往年的选拔流程，参加IMO的国家队队员，从2020年数学奥赛集训队中选拔，但需要经过一次集中考试，来确定名单。

但今年变了。

根据一份中国数学会数学竞赛委员会及全国中学生数学竞赛工作组发布的通知，因为新冠肺炎疫情的影响，这一选拔考试一直无法举办。

随着上报IMO参赛队员名单的截止日期的临近，中国数学会常务理事会研究决定，这一届的国家队队员通过2019年中国数学奥林匹克（冬令营）的成绩选拔组成。

也就是说，从第一名由高到低依次选取前6名为国家队队员。

小插曲是，今年有两个第六名。

来自杭州学军中学的梁敬勋和深圳中学的温凯越成绩并列。

为此，他们之间还专门进行了一场持续420分钟的加赛。

最后，梁敬勋同学在这场考试中更胜一筹，拿下国家队名额。

“前任”压力大，去年IMO中国队全部金牌

虽然今年阵容强大，但压力也不小。

主要来自他们的“前任”，上一届IMO中国代表队。

在去年举办的第60届IMO中，中国队六名选手全部获得了金牌，他们分别是：

• 邓明扬（参加时高一，中国人民大学附属中学）；

• 胡苏麟（参加时高二，华南师范大学附属中学）；

• 袁祉祯（参加时高二，武钢三中，被保送清华姚班）；

• 俞然枫（参加时高二，南京师范大学附属中学）；

• 黄嘉俊（参加时高一，上海中学）；

• 谢柏庭（参加时高三，浙江乐清知临中学，已经被清华录取）。

其中袁祉祯和谢柏庭获得满分，中国队总分227分，与美国队并列团体第一——过去5年中首次获得冠军。

所以在去年成绩面前，中国今年IMO代表队压力也不小。但纪录和荣誉，向来就是被刷新的。

今年的第61届IMO竞赛将于9月21日-9月22日进行，会采用网络参赛的方式。

注：本文摘自网络

人类的情感可以用数学语言来表达吗? 今天刚好是5月20日——信息时代的爱情节日，小编带大家来领略一下数学的浪漫！

英国伟大的的数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家牛顿是位百科全书式的“全才”。他的《自然哲学的数学原理》是自然规律和法则的数学表达。他的微积分创造性解决了物理学中众多很难解决的问题。在当时看来，很多问题只能是定性而不能是定量，但是牛顿创造了一种新的数学方法，使看似不可能用数学表达的事物可以用数学的形式表达。

那么，现在提出这样一个问题：人类的情感可以用数学语言来表达吗?

今天刚好是5月20日，信息时代的爱情节日，小编带大家来领略一下数学的浪漫！

爱情数

大家会做因子分解吗？

现在我们来做一道因子分解题：

先把220的因子都写出来：

1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、ll0、220

把这些因子加起来

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

然后把284的因子分解出来：

1、2、4、71、142、284

把所有因子相加

1+2+4+71+142=220

看出来了吗？除了他们本身，220的因子总和是284，284的因子总和是220。

你可能会惊叹，这真是一组奇妙的数字，你中有我，我中有你，宛如一对恋人。

这对数字是数学界发现最早的“爱情数”，又称“亲和数”，发现它们的人的名字是著名的古希腊数学家“毕达哥拉斯”。“爱情数”指的就是这样两个自然数，其中每个数的真因数之和等于另一个数。

220和284是人类最早发现的所有爱情数中最小的一对，也是第一对爱情数。因此，备受古代欧洲人的推崇，甚至赋予其神秘色彩。

据《数学魔术》一书记录，他们相信刻者220和284的两块符咒可以确保佩戴人亲密无间；他们相信吃下刻有220和284的两个水果能产生爱情。就连《圣经》中也有记载，雅各布把220头羊当礼物送给孪生兄弟以扫，神学家们认为山羊的数目220（一对亲和数中的一个）表达了雅各布对以扫的友爱之情。

心形线

相传，著名的数学家笛卡尔在晚年认识了瑞典小公主克里斯汀，并成为她的数学老师，朝夕相处使他们彼此产生了爱慕之心。

笛卡尔（左）与克里斯汀（右）

然而，爱情的道路艰难坎坷，公主的父亲是他们最大的阻力，后来两人便只能通过书信往来。

据说，笛卡尔寄给克里斯汀的最后一封信，内容只有短短的一个公式：

公主看到后，立马在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，终于解开了公式的秘密——这就是美丽的心形线。

看，数学家也有自己的浪漫方式！

心形线是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心形线。

心形线是外摆线的一种，其n为2。它亦可以极坐标的形式表示：r= 1 + cosθ

这样的心脏线的周界为8，围得的面积为3π/2。

心脏线亦为蚶线的一种。

在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。

心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的，意为“像心脏的”。

在笛卡尔坐标系中，心形线的参数方程为：

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）

在极坐标系中的方程为：

ρ(θ)=2r(1-cosθ)

面积：

四个朝向不同的心形线

520

上学的时候大家应该经常想：微积分有什么用？概率统计有什么用？520当天可以用来写数学情书吗？

还真可以！

大家不妨猜一猜，这表达的是什么意思呢?

这个公式是排列组合公式，上面的式子对应的就是

I Choose U.

I choose you. 

再来一个！

Mylove' = 0

大家是不是以为说的是“我的爱等于0”？

注意e'上面有一个“'”，这表达的是导数。

如果Mylove的导数是0，那么说明Mylove的值是个常数，常数的英文是Constant,所以合在一起就是：

My love is constant.

我的爱是永恒的。

最后，小编想用电影《美丽心灵》里的一段台词作为结束语。

It is only in the mysterious equations of love that any logic or reasons can be found. I'm only here tonight because of you. You are the reason I am. You are all my reasons.

只有在这种神秘的爱情方程中，才能找到逻辑或原由来。今晚我能站在这儿全是你的功劳，你是我成功的因素，也是唯一的因素。

数学是浪漫的

  祝大家520快乐！

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一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。——傅鹰

数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。—— F. Cajori

0、引言

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。

“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。

阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．

花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．

1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica）。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”（Father of algebra）的称号。

代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。

1、算术

算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。

--高斯（Gauss,1777-1855）

数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。

--麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺（Peano）进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。

2、初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。

1古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。

代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。韦达（Viète）在他的《分析方法入门》（Inartem analyticem isagoge,1591）著作中，首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算，提出符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。韦达是第一个试图创立一般符号代数的的数学家，他开创的符号代数，经笛卡尔（Descarte）改进后成为现代的形式。笛卡尔用小写字母a, b, c等表示已知量，而用x, y, z代表未知量。这种用法已经成为当今的标准用法。

“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》（Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489）。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德(R. Rcorde)开始使用现在使用的“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特（T. Harriot）创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前4世纪，古希腊人发现无理数。公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺(N. Cardano)在《大术》中开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。

3、高等代数

在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号，表示包括的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。

十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲，第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz，1693年）。

1750年克莱姆（Cramer）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer克莱姆法则）。

1764年，Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述（即把行列式理论与线性方程组求解相分离）的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。

参照克莱姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在《对积分和世界体系的探讨》中，证明了Vandermonde的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。1841年，德国数学家雅可比（Jacobi）总结并提出了行列式的最系统的理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西（Cauchy），他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。

大约在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。

矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。

1848年，英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵（matrix）这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。在1855年矩阵代数得到了Arthur Cayley的进一步发展。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵的逆在内的代数问题。1858年，Cayley在他的矩阵理论文集中提出著名的Cayley-Hamilton理论，即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式

det（AB）=det（A）det（B）为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论。

数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既V×W不等于W×V）的向量代数是由Hermann Grassmann在他的《线性扩张论》（Die lineale Ausdehnungslehre）一书中提出的（1844）。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1的矩阵，或简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs发表了关于《向量分析基础》（Elements of Vector Analysis）的著名论述。其后物理学家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

4、数论

以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。

“2早在公元前3世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”：在写出从1到N的全部整数的纸草上，依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的倍，3倍，……)以及1，在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。

当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。

丢番图的《算术》中给出了求所有整数解的方法。费尔马指出在n＞3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。

数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。

5、抽象代数

抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（modern algebra），它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（Galois, Evariste,1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

(1843年，哈密顿（Hamilton, W. R. ）发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。

1870年，克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；

有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特(Emmy Noether), 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。

诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。

1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。

1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。

诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。

1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

6、后记

现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学。

本文摘自网络

中国在那段举步维艰的历史里、晦暗不明的光景中，中国人在低头前行。按说这样的环境是最不适合优秀人才的生长和发展，但是中国人却不然，那时候的中国有大量的优秀人才涌现出来，群英荟萃、灿烂光辉。

艰苦中的知识分子们，铸就了一个无法超越的璀璨时代，一首令人敬佩的时代之诗。而陈省身则是灿烂星河里无法避免的一颗明星。

年少便是卓尔不凡

关于小学，陈省身只上了一天，因为放学目睹了老师打同学的手心，而不肯再踏入校门一步。陈省身的小学生涯就这样结束了。

陈省身9岁的时候就已经以优秀的成绩，考入嘉兴建校最早的学校——秀州中学的预科一年级。而九岁的陈省身这时已经可以做复杂的数学题。

1922年，陈省身因为父亲升职，而迁往天津，第二年便进入了扶轮中学学习。未满15岁，陈省身就考入南开大学预科，别说是过去，就是教育条件如此之好的今天，也难出这样的天才少年。

遇到恩师

数学系主任姜立夫对陈省身的影响很大。姜立夫开创了南开大学数学系，对于中国的数学事业称得上是先行者。数学系1926级学生只有5名，陈省身和吴大任是全班最优秀的。

陈省身原本想要学物理系，但由于自己不喜欢实验改选了数学系。作为老师的姜立夫自然是十分高兴能有这样优秀的学生，二年级时，姜立夫让陈省身给自己当助手，任务是帮老师改卷子。

如果陈省身是千里马的话，姜立夫就是伯乐，完全正确的欣赏和培养了这匹千里马，使得陈省身这匹“千里马”一跃千里。

进入更高的殿堂

1931年陈省身进入了清华研究院，是我国最早一批的数学系研究生。1934年夏，他毕业了，获硕士学位，成为中国自己培养的第一名数学研究生。同年，获得奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学。

在汉堡大学，他接触了不少数学界的学术大家，接触了顶尖的数学学术知识，对数学无比热爱的陈省身，在数学天堂里遨游，在自己的擅长的领域自然是如鱼得水。1936年，他决定，但他决定去巴黎跟嘉当先生工作一年。

战火没有阻挡他的脚步

1937年，陈省身回国，这一年，战争全面爆发，战争对每个领域都是全方位了的毁灭。民生凋敝、百业不振，但是这并没有打陈省身继续研究数学的热情。陈省身接受聘约之后，随着西南联大一同迁到昆明。当时战局紧张，在昆明的日子也是十分紧张，没有图书馆，教室也很少。

就在这样艰苦的条件之下，陈省身在昆明的轰炸声中写出震惊外国数学研究人员的两篇文章，发表在普林斯顿大学与高级研究所合办的刊物《数学纪事》上，数学家H.外尔和A.韦伊认为陈省身的研究工作达到了很优秀的水准，想要陈省身去往普林斯顿。

1943年陈省身发表了具有划时代意义的论文《关于高斯-博内公式的简单内蕴证明》，这篇论文使得陈省身扬名国际，奠定了他“微分几何之父”的坚定位置。

桃李满天下

1984年陈省身出任了南开大学数学所所长。为祖国培养了大量的优秀人才。陈省身曾是杨振宁本科期间的老师，吴文俊院士也是陈省身的学生。M.I.T有个有名的教授曾听过陈省身的课，他说：“对于我们这代人来说，微积分就是陈省身。”

陈省身是公认的数学家，被美国科学院推选为院士，他开创了一个崭新发领域“整体微分几何”。

一段佳话

陈省身经杨振宁的父亲杨武之介绍认识了当时清华大学数学系教授郑桐荪的女儿——郑士宁。而后二人结婚生了一个儿一女，也是成就了一段佳话。

陈省身在数学领域做出了正大贡献，也为国家挣了光，让国际数学领域也有了中国的出现。2004年12月3日陈省身逝世，享年93岁。就此，他告别了他辉煌的一生。

他的脑子毫不停歇的运转了七十年。这七十年，是他孜孜不倦的七十年。他说：“我读数学没有什么雄心，我只是想懂得数学，如果一个人的目的是名利，数学不是一条捷径。”

培养出优秀子女

陈省身教育孩子，有着与“控制式”的父母不一样的教育方式，他选择“放纵式”的教育。尊重孩子的选择。

陈省身的儿子陈伯龙是数学系研究生，雄心勃勃的想要像父亲一样当一个数学家，但是当他想要进一步深造。陈伯龙去数学研究班听了一节课后，发现自己并不是当数学家的料，他回家向“微积分之父”的父亲请教，却发现自己怎么都弄不明白，陈伯龙终于明白他的能力与天赋不足以让他在这个领域做到优秀。

他把想法说给了父亲之后，陈省身并没有苛责儿子非要让儿子当一个数学家。他建议儿子发挥特长进入商界。陈伯龙最终转学精算，进入了保险业，做了一名精算师。供职四十余年，在自己的领域里也做的风生水起。

陈伯龙回望过去的时候，也认为当初的选择是正确的，自己更适合做精算。陈省身的女儿陈璞原本对物理有兴趣，并且是加州大学伯克利分校物理系毕业。后来读博她又改学了经济，在银行供职几年后，自己就出去独立单干。

毕业后在德州商业银行（现合并到大通银行）工作，任副总裁助理，后自己设立了一个有关经济法规的咨询公司，现为首都银行董事之一。

陈璞在金融领域里也有着自己的一席之地。陈璞在读硕士期间，认识了朱经武。这位朱经武后来成为了我国著名的超导物理学家。陈省身知道后，就拜托杨振宁打听这位朱经武，知道朱经武人很好之后，便放下了心。

陈璞是大数学家之女，著名的物理学家之妻，世界上恐怕也没有别人如此了。这一双儿女虽然没有从事数学，但都是智商超群之辈，但在自己的领域里都活的精彩。

*文章摘自史海观复

1.均值不等式

调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方平均值这几种平均值在不等式推导中经常用到，但是容易搞混他们的大小关系，通过下面的几何图形就可以清楚理解他们之间的大小关系。

2.对数函数延伸

对数的大小比较也让人头疼，但是我们同样可以通过简单的几何图形得到他们之间的大小关系。如下图，LnA = mA*A, LnB = mB*B, 由于mA> mB就可以得到A，B之间的大小关系了。 

3.黄金代换公式

黄金代换公式在三角恒等式推导，三角函数计算，微积分的变量替换等场合会比较常用，通过下图可以清楚了解他们之间的数量关系。

4.反三角函数最实用结论

反三角函数我们使用的机会不多，但是下面的两个结论也是颇有趣的。

５．点到直线的距离公式

通过相似三角形的方式给出了点到直线的距离公式，这种方法颇为形象直观，一下子就指出了距离公式的几何意义。

６．等差数列求和

常见的数列求和公式，下图的几何意义清晰，所有三角形的面积加起来等于大的三角形的面积。

7.平方数求和

平方数求和，这个是三维的几何图形，把左上角的3个图形拼在一起就可以得到右下角的图形，求和公式也呼之欲出了。

８．球的体积公式

祖暅原理，把球的体积公式转换为四棱锥的体积。

９．二倍角公式

二倍角公式也可以通过下面的相似三角形的方式给出。

10．数列的极限

下面的定义的数列的极限相当于两条曲线的交点的横坐标。

*文章图片来源于网络

国际奥林匹克数学竞赛，从1959年起举办，至2019年，共举办了61届。中国在1985年首次派出中学生参赛，共参加了34届。中国共获得19个团体冠军，拿回157牌金牌，其中36块金牌是满分。

国际奥数竞赛，能看出一个国家数学水平，这点看，中国数学无疑是最强的。是哪些中国人在国际奥数竞赛拿奖牌？他们来自哪里，又去了哪里，现在他们在做什么？

一、1985年，第26届。团体冠军：罗马尼亚。中国队派出2名选手，第一次参加国际中学生数学奥林匹克竞赛。

1、吴思皓，上海向明中学，获铜牌，保送上海交通大学。毕业赴耶鲁大学读博士。

2、王锋，北京大学附中，没获奖牌，保送北京大学。现做企业软件。

二、1986年，第27届。团体冠军：美国、前苏联。

1、方为民，河南实验中学，41分获金牌，保送北京大学。

2、张浩，上海大同中学，39分获金牌，保送复旦大学。

3、李平立，天津南开中学，37分获金牌，保送北京大学。现任北大方正技术研究院技术总监。

4、荆秦，女，陕西西安八十五中，26分获银牌，保送北京大学。现美国哈佛大学教师。

5、林强，湖北黄冈中学，19分获铜牌，保送中国科技大学。

6、沈建，江苏泰县姜堰中学，15分未获奖牌。

三、1987年，第28届。团体冠军：罗马尼亚。

1、刘雄，湖南湘阴中学，满分42获金牌，保送南开大学。

2、滕峻，女，北大附中，满分42获金牌，保送北京大学。现在美国费城大公司任职。

3、林强，湖北黄冈中学，34分获银牌，保送中国科技大学。

4、潘于刚，上海向明中学，34分获银牌，保送北京大学。

5、高峡，北大附中，29分获铜牌，保送北京大学，赴美国科罗拉多大学博士，现北京大学数学系任教。

6、何建勋，广东华南师大附中，19分获铜牌，保送中国科技大学。

四、1988年，第29届。团体冠军：前苏联。

1、何宏宇，四川彭县中学，满分42获金牌。1993年破格列入美国数学家协会会员，1994获麻省理工数学博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授，博导，在《李群》研究上有重大突破。

2、陈晞，上海复旦附中，41分获金牌，保送复旦大学。赴哈佛大学读博士，现加拿大阿尔伯塔大学教授。

3、韦国恒，湖北武钢三中，30分获银牌，保送北京大学。

4、邹钢，江苏镇江中学，30分获银牌，保送北京大学。

5、查宇涵，江苏南京十中，29分获银牌，保送复旦大学。现为中科院数学所研究员。

6、王健梅，女，天津南开中学，29分获银牌，保送北京大学。

五、1989年，第30届。团体冠军：前苏联。

1、罗华章，重庆永川中学，满分42获金牌，保送北京大学。赴麻省理工读数学博士，现美国某软件公司任职。

2、蒋步星，新疆石河子五中，41分获金牌，保送清华大学。现为润乾软件的老总。2015年，他的润乾软件被福布斯中文网站评为“2015福布斯中国非上市潜力企业100强”。

3、俞扬，吉林东北师大附中，41分获金牌，保送吉林大学。现 美国俄亥俄州立大学数学老师。

4、霍晓明，江西景德镇景光中学，41分获金牌，保送中国科技大学。赴斯坦福大学读统计博士，现佐治亚理工学院教师。

5、唐若曦，四川成都九中，37分获银奖，保送中国科技大学。赴哈佛大学读统计博士。

6、颜华菲，女，北京人大附中，35分获银牌，保送北京大学。赴麻省理工学院读数学博士，现美国德克萨斯大学教授。

六、1990年，第31届，团体冠军：中国。

1、周彤，湖北武钢三中，满分42获金牌，保送北京大学。

2、汪建华，陕西汉中西乡一中，满分42获金牌，保送南开大学。赴麻省理工学院读数学博士，现美国陈省身数学研究所工作。

3、王菘，湖北黄冈中学，41分获金牌，保送北京大学。赴美国普林斯顿大学读数学博士，任耶鲁大学教师，2006年作为中科院“百人计划”回国。

4、余嘉联，安徽铜陵一中，36分获金牌，保送清华大学。

5、张朝晖，北京四中，36分获金牌，保送北京大学。

6、库超，湖北黄冈中学，33分获银牌，保送北京大学。赴美国加州理工学院读数学博士，现北师港浸大教师。

七、1991年，第32届。团体冠军：前苏联。

1、罗炜，黑龙江哈师大附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴麻省理工读数学博士，在浙江大学数学科学中心任博士后。

2、张里钊，北大附中，41分获金牌，保送北京大学。赴麻省理工数学读博士。

3、王绍昱，北大附中，40分获金牌，保送北京大学。赴加州理工学院读数学博士，现耶鲁大学教师。

4、王菘，湖北黄冈中学，40分获金牌，保送北京大学。赴普林斯顿大学读数学博士，现耶鲁大学教师。

5、郭早阳，湖南师大附中，36分获银牌，保送清华大学。赴美国西北大学读博士，于2011年11月被重庆大学引进到工程力学系任教授、博导，2012年入选中组部第二批“青年千人计划”。

6、刘彤威，北大附中，32分获银牌，保送北京大学。

八、1992年，第33届。团体冠军：中国。

1、沈凯，江苏南京师大附中，满分42获金牌，保送上海交通大学。

2、杨保中，河南郑州一中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国斯坦福大学读金融博士，任斯坦福大学教师、美国佐治亚州立大学教授。

3、罗炜，黑龙江哈师大附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴麻省理工读博士，任浙江大学教师。

4、章寅，四川成都七中，41分获金牌，保送北京大学。赴康奈尔大学读计算机博士，任美国得克萨斯大学奥斯汀分校教师。

5、何斯迈，安徽安庆一中，40分获金牌，保送中国科技大学。赴美国纽约州立大学石溪分校读博士，任上海财经大学教授。

6、周宏，北大附中，33分获金牌，保送北京大学。

九、1993年，第34届。团体冠军：中国。

1、周宏，北大附中，满分42获金牌，保送北京大学。2、袁汉辉，广东华南师大附中，37分获金牌，保送清华大学。赴麻省理工读数学博士，因精神问题被退学。在华南师大数学科学学院工作，2005年的女子数学奥林匹克有他供题一道。

3、杨克，湖北武钢三中，36分获金牌，保送清华大学。赴美国卡耐基梅隆大学读计算机博士。

4、刘炀，湖南师大附中，35分获金牌，保送上海交通大学。

5、张镭，山东青岛二中，34分获金牌，保送北京大学。

6、冯炯，上海向明中学，31分获金牌，保送上海交通大学。

十、1994年，第35届。团体冠军：美国。

1、张健，上海建平中学，满分42获金牌，保送北京大学。赴俄罗斯莫斯科国立大学数学系读博士。

2、姚健钢，人大附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国加州大学伯克利分校读数学博士。任巨人学校奥数讲义编写组顾问。

3、彭建波，湖南师大附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国纽约大学读计算机博士。

4、奚晨海，北大附中，34分获银牌，保送北京大学。赴美国匹兹堡大学读计算机博士。

5、王海栋，上海华东师大二附中，35分银牌，保送复旦大学。赴美国斯坦福大学读计算机博士。

6、李挺，四川内江安岳中学，34分银牌，保送北京大学。

十一、1995年，第36届。团体冠军：中国。

1、常成，黑龙江哈师大附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国加州大学伯克利分校读电子工程博士。

2、柳耸，山东省实验中学，满分42获金牌，保送北京大学。上海安家落户。

3、朱辰畅，女，湖北武钢三中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国加州大学伯克利分校读数学博士，现美国哥廷根大学数学系教授。

4、王海栋，上海华东师大二附中，38分获金牌，保送复旦大学。赴美国斯坦福大学读计算机博士。

5、林逸舟，山东省实验中学，36分获银牌，保送清华大学。赴美国加州大学洛杉矶分校读计算机博士。

6、姚一隽，上海复旦大学附中，36分获银牌，保送复旦大学。赴法国巴黎综合理工大学读数学博士，现复旦大学教授。

十二、1996年，第37届。团体冠军：罗马尼亚。

1、陈华一，福建福安一中，32分获金牌，保送北京大学。赴法国巴黎综合理工大学读数学博士，现北京大学教师。

2、闫理，北京二十二中，30分获金牌，保送北京大学。赴普林斯顿大学读数学博士，改斯坦福大学金融博士。

3、何旭华，重庆十八中，30分获金牌，保送北京大学。赴麻省理工读数学博士，历任香港科技大学数学系副教授、美国马里兰大学教授，2013年获颁“晨兴数学金奖”。现任香港中文大学教授。

4、王列，辽宁沈阳育才学校，27分获银牌，保送北京大学，赴沃顿商学院坊统计博士。

5、蔡凯华，江苏启东中学，23分获银牌，保送中国科技大学。赴美国加州理工学院读数学博士。

6、刘拂，女，上海复旦大学附中，18分获铜牌，保送北京大学。赴麻省理工读数学博士。

十三、1997年，第38届。团体冠军：中国。

1、邹瑾，湖北武钢三中，388分获金牌，保送北京大学。任高思教育集团联合创始人、副总裁、爱尖子事业部CEO，巨人学校奥数教练。

2、倪忆，湖北黄冈中学，38分获金牌，保送北京大学。赴美国普林斯顿大学读数学博士，2003年在普林斯顿大学研究低维拓扑，2007年去哥伦比亚大学和麻省理工学院从事博士后研究。目前为加州理工学院教授。

3、韩嘉睿，广东深圳中学，38分获金牌，保送北京大学。赴美国斯坦福大学读统计博士。

4、安金鹏，天津一中，37分获金牌，保送北京大学。任北京大学数学科学学院教授。安金鹏入选教育部2016年度“长江学者奖励计划”青年学者。

5、孙晓明，山东青岛二中，37分获金牌，保送北京大学，改清华大学读计算机博士。

6、郑常津，福建福安一中，35分获金牌，保送北京大学。

十四、1998年，第39届。团体冠军：伊朗。

中国因故未参赛

十五、1999年，第40届。团体冠军：中国、俄罗斯。

1、李鑫，广东华南师大附中，36分获金牌，保送北京大学。

2、刘若川，东北育才学校，35分获金牌，保送北京大学。赴美

国麻省理工读数学博士。

3、程晓龙，湖北武钢三中，32分获金牌，保送北京大学。

4、翟振华，上海延安中学，30分获金牌，保送北京大学。赴美国得克萨斯大学奥斯汀分校读数学博士。

5、孔文彬，湖南师大附中，27分获银牌，保送北京大学。

6、朱琪慧，女，广东华南师大附中，22分获银牌，保送清华大学。赴美国宾夕法尼亚大学读计算机博士。

十六、2000年，第41届。团体冠军：中国。

1、恽之玮，江苏常州高级中学，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国普林斯顿大学读数学博士，麻省理工读博士后，现斯坦福副教授（终身）。

2、刘志鹏，湖南长沙一中，39分获金牌，保送北京大学。

3、李鑫，广东华南师大附中，38分获金牌，保送北京大学。

4、朱琪慧，广东华南师大附中，36分获金牌，保送清华大学。赴美国宾夕法尼亚大学读计算机博士。

5、袁新意，湖北黄冈中学，32分获金牌，保送北京大学。赴美国哥伦比亚大学读数学博士，任美国加州大学伯克利分校数学系助理教授。

6、吴忠涛，上海中学，31分获金牌，保送北京大学。改读美国麻省理工学院，本科2005年毕业于麻省理工学院，博士2010年毕业于普林斯顿大学，曾在加州理工学院做过博士后，现在任职于香港中文大学。研究兴趣包括低维拓扑、辛几何与规范场论，尤其是Floer 同调在纽结与三维流形中的应用。

十七、2001年，第42届。团体冠军：中国。

1、肖梁，人大附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国麻省理工读数学博士，目前在美国一流大学担任教职，作出了令人瞩目的工作成绩。

2、张志强，湖南长沙一中，满分42获金牌，保送北京大学。

3、余君，湖南师大附中，37分获金牌，保送北京大学。他2005年在北京大学数学科学学院获得学士学位，2012年在瑞士苏黎世联邦理工大学获得博士学位。2013年1月至2014年6月在美国普林斯顿高等研究院任访问学者，2014年7月至2015年6月在美国麻省理工学院做博士后。2015年，余君加入北京大学，任北京国际数学研究中心研究员。2016年，余君入选第十二批国家“千人计划”青年人才名单。他的主要研究领域是李群表示论。

4、郑晖，湖北武钢三中，36分获金牌，保送北京大学。

5、陈建鑫，江苏启东中学，36分获金牌，保送清华大学。有报道，2017年阿里云量子实验室陈建鑫研究员来中科院作报告。

6、翟枫，东北育才学校，33分获金牌，保送北京大学。

十八、2002年，第43届。团体冠军：中国。

1、王博潼，东北育才学校，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国普渡大学读博士，任美国威斯康星大学麦迪逊分校助理教授。

2、付云皓，清华附中，满分42获金牌，保送北京大学。北大、广州大学读硕博，任南方科技大学教师。

3、王彬，陕西西安铁路一中，36分获金牌，保送北京大学。

4、曾宪乙，湖北武钢三中，32分获金牌，保送北京大学。赴美国德克萨斯大学埃尔帕索分校求学， 2017年来华中科技大学作学术报告。

5、肖雄，湖南师大附中，30分获金牌，保送清华大学。

6、符文杰，上海华东师大二附中，30分获金牌，保送清华大学。

十九、2003年，第44届。团体冠军：保加利亚。

1、付云皓，清华附中，满分42获金牌，保送北京大学，北大、广州大学读硕博，任南方科技大学教师。

2、王伟，湖南师大附中，37分获金牌，保送北京大学。

3、向振，湖南长沙一中，36分获金牌，保送清华大学。

4、方家聪，广东华南师大附中，35分获金牌，保送北京大学。

5、万昕，四川彭州中学，33分获金牌，保送北京大学，现中科院数学院晨兴数学中心工作。

6、周游，湖北武钢三中，28分获银牌，保送北京大学。

二十、2004年，第45届。团体冠军：中国。

1、黄志毅，广东华南师大附中，41分获金牌，保送清华大学。

2、朱庆三，广东华南师大附中，38分获金牌，保送北京大学。

3、李先颖，湖南师大附中，37分获金牌，保送清华大学。

4、彭闽昱，江西鹰潭一中，35分获金牌，保送北京大学。

5、林运成，上海中学，35分获金牌，保送北京大学。2005年转学至麻省理工学院，2008年获得数学计算机双学位毕业。2008年进入斯坦福大学数学系深造。

6、杨诗武，湖北黄冈中学，34分获金牌，保送北京大学。赴美国普林斯顿大学读硕士、剑桥大学读博士后。杨诗武在2007～2008年曾在北京资优教育兼任数学教练工作，成绩斐然。2016年加入北京大学国际数学中心任助理教授，入选第十三批国家“千人计划”青年项目。主要研究方向是双曲偏微分方程、广义相对论。

二十一、2005年，第46届。团体冠军：中国。

1、任庆春，天津耀华中学，满分42获金牌，保送北京大学，赴美国麻省理工读博士。

2、刁晗生，上海华东师大二附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国麻省理工求学，现在哈佛。

3、罗晔，江西师大附中，满分42获金牌，保送北京大学。赴美国麻省理工学院经济系读博士。

4、邵烜程，复旦大学附中，满分42获金牌，保送北京大学。

5、康嘉引，深圳中学，35分获金牌，保送北京大学。

6、赵彤远，石家庄二中，32分获银牌，保送北京大学。2015年9月在中国石油大学（北京）理学院数学系。

二十二，2006年，第47届。团体冠军：中国。

1、柳智宇，湖北华中师大一附中，满分42获金牌，保送北京大学。2010年北京西山龙泉寺出家。

2、沈才立，江苏镇江中学，37分获金牌，保送北京大学。

3、邓煜，深圳高级中学，35分获金牌，保送北京大学，赴美国麻理理工学院读学士、普林斯顿大学读硕士。

4、金龙，东北师大附中，35分获金牌，保送北京大学。

5、任庆春，天津耀华中学，34分获金牌，保送北京大学。赴美国麻省理工学院读博士，

6、甘文颖，女，湖北武钢三中，31分获金牌，保送北京大学。

二十三、2007年，第48届。团体冠军：俄罗斯。

1、沈才立，镇江中学，36分获金牌，保送北京大学，美国名校读研究生，在新泽西做股市分析员。

2、付雷，湖北武钢三中，30分获金牌，保送北京大学。

3、王烜，深圳中学，30分获金牌，保送北京大学。

4、杨奔，人大附中，30分获金牌，保送北京大学。

5、马腾宇，东北师大附中，28分获银牌，保送北京大学。赴美国普林斯顿大学计算机科学系求学，任斯坦福大学计算机科学与统计学系助理教授。

6、胡涵，湖南师大附中，27分获银牌，保送北京大学，任学而思网校老师。

二十四、2008年，第49届。团体冠军：中国。

1、牟晓生，上海中学，满分42获金牌，放弃北大选择耶鲁，哈佛经济博士，网上称其为世界经济学学术新星。

2、韦东奕，山东师大附中，满分42获金牌，保送北京大学。2013年获丘成桐大学生数学竞赛华罗庚奖金奖。

3、张瑞祥，人大附中，35分获金牌，保送北京大学，赴美国普林斯顿大学读博士。

4、张成，华东师大二附中，35分获金牌，保送北京大学。

5、陈卓，女，华中师大一附中，35分获金牌，保送北京大学。

6、吴天琪，浙江嘉兴市第一中学，28分获银牌，保送北京大学。

二十五、2009年，第50届。团体冠军：中国。

1、韦东奕，山东师大附中，满分42获金牌，保送北京大学。2013年获丘成桐大学生数学竞赛华罗庚奖金奖。

2、赵彦霖，东北师大附中，38分获金牌，保送北京大学。

3、黄骄阳，成都第七中学，36分获金牌，保送清华大学。赴美国麻省理工学院求学。

4、林博，人大附中，35分获金牌，保送北京大学。2013年赴美国加州大学伯克利分校攻读博士学位。

5、郑凡，上海中学，35分获金牌，保送北京大学。赴美国麻省理工学院求学。

6、郑志伟，浙江乐成公立寄宿学校，35分获金牌，保送清华大学，在中科院。

二十六、2010年，第51届。团体冠军：中国。

1、聂子佩，上海中学，满分42获金牌，赴美国麻省理工学院

2、李嘉伦，浙江乐成公立寄宿学校，36分获金牌，保送清华大

学。

3、肖伊康，河北唐山一中河北，34分获金牌，保送北京大学。

在中科院。

4、张敏，女，华中师大一附中，30分获金牌，保送北京大学。

5、赖力，重庆南开中学，28分获金牌，保送清华大学。

6、苏钧，福州第一中学，27分获金牌，保送北京大学。

二十七、2011年，第52届。团体冠军：中国。

1、陈麟，人大附中，38分获金牌，保送北京大学。

2、周天佑，上海中学，34分获金牌，赴美国麻省理工学院。

3、姚博文，河南省实验中学，30分获金牌，保送北京大学。

4、龙子超，湖南师大附中，30分获金牌，保送北京大学。5、靳兆融，人大附中，29分获金牌，保送北京大学。

6、吴梦希，江苏南菁高级中学，28分获金牌，保送北京大学。

二十八、2012年，第53届。团体冠军：韩国。

1、佘毅阳，上海中学，38分获金牌，保送北京大学。

2、王昊宇，湖北武钢三中，37分获金牌，保送清华大学。

3、陈景文，人大附中，35分获金牌，保送北京大学。

4、吴昊，辽宁师大附中，34分获金牌，保送北京大学。

5、左浩，华中师大一附中，33分获金牌，保送北京大学。

6、刘宇韬，上海中学，18分获铜牌，未签。

二十九、2013年，第54届。团体冠军：中国。

1、刘宇韬，上海中学，41分获金牌，保送北京大学。

2、张灵夫，四川绵阳中学，38分获金牌，保送清华大学。

3、刘潇，浙江乐成公立寄宿学校，35分获金牌，保送清华大学。

4、廖宇轩，郑州外国语学校，33分获金牌，保送北京大学。

5、顾超，上海格致中学，31分获金牌，保送北京大学。6、饶家鼎，深圳第三高级中学，30分获银牌，北大、清华预录。

三十、2014年，第55届。团体冠军：中国。

1、高继扬，上海中学，满分42获金牌，未签。

2、浦鸿铭，东北师大附中，39分获金牌，保送北京大学。3、齐仁睿，山东历城二中，35分获金牌，保送清华大学。4、周韫坤，深圳中学，35分获金牌，保送清华大学。

5、谌澜天，湖南师大附中，25分获金牌，保送清华大学。6、黄一山，湖北武钢三中，22分获银牌，保送北京大学。

三十一、2015年，第56届。团体冠军：美国。

1、俞辰捷，华东师大二附中，41分获金牌，保送北京大学。

2、贺嘉帆，湖南雅礼中学，33分获金牌，保送清华大学。

3、王诺舟，辽宁实验中学，31分获金牌，保送北京大学。

4、高继扬，上海中学，30分获金牌，北大预录。

5、谢昌志，湖南雅礼中学，25分获银牌，保送清华大学。

6、王正，人大附中，23分获银牌，保送北京大学。

三十二、2016年，第57届。团体冠军：美国。

1、杨远，石家庄二中，满分42获金牌，保送北京大学。

2、梅灵捷，复旦大学附中，41分获金牌，保送北京大学。

3、张盛桐，上海中学，36分获金牌，保送北京大学。

4、贾泽宇，人大附中，31分获金牌，保送清华大学。

5、王逸轩，湖北武钢三中，28分获银牌，保送北京大学。

6、宋政钦，湖南师大附中，26分获银牌，保送清华大学。

三十三、2017年，第58届。团体冠军：韩国。

1、任秋宇，华南师大附中，32分获金牌。

2、张騄，湖南长郡中学，28分获金牌，保送北京大学。

3、吴金泽，武汉二中，26分获金牌，保送北京大学

4、何天成，华南师大附中，25分获金牌，保送北京大学。

5、江元旸，浙江鄞州中学，25分获金牌，保送北京大学。

6、周行健，人大附中，23分获银牌。

三十四、2018年，第59届。团体冠军：美国。

1、陈伊一，湖南雅礼中学，37分获金牌，保送清华大学。

2、欧阳泽轩，温州中学，36分获金牌，保送清华大学。

3、李一笑，江苏天一中学，35分获金牌，保送北京大学。

4、王泽宇，陕西西北工大附中，31分获金牌，保送清华大学。5、叶奇，乐成公立寄宿学校，30分获银牌，保送清华大学。6、姚睿，华中师大一附中，30分获银牌，保送清华大学。

三十五、2019年，第60届。团体冠军：中国、美国。

1、袁祉祯，武钢三中，满分42获金牌，保送清华大学。

2、谢柏庭，浙江乐清知临中学，满分42获金牌，保送清华大学。

3、胡苏麟，华南师大附中，39分获金牌，保送北京大学。

4、邓明扬，人大附中，39分获金牌，保送北京大学。

5、俞然枫，南京师大附中，35分获金牌，保送北京大学。

6、黄嘉俊，上海中学，34分获金牌，保送清华大学。

到现在为止，在国际数学四大奖中，只发现3个华人名字——陈省身、丘成桐、陶哲轩。

相信不要多久，在国际数学菲尔兹奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖、陈省身奖中会出现更多中国人名字，特别是代表中国参加过国际奥数比赛并获奖者的名字。

在统计历届菲尔兹奖获得者名单时，发现有1/3的人都在国际奥数比赛上获过奖。

注：本文转自网络

线性代数是什么？

在大学数学学科中

线性代数是最为抽象的一门课

从初等数学到线性代数

思维跨度比微积分和概率统计要大得多

大多数小伙伴学过以后一直停留在

知其然不知其所以然的阶段

若干年之后接触图形编等领域

才发现线性代数的应用无处不在

但又苦于不能很好地理解和掌握

多数人很容易理解初等数学的各种概念

函数、方程、数列

一切都那么的自然

但是一进入线性代数的世界

就好像来到了另一个陌生的世界

在各种奇怪的符号和运算里迷失了

在初接触线性代数的时候

简直感觉这是一门天外飞仙的学科

一个疑问在脑子里浮现出来

线性代数到底是一种客观的自然规律还是人为的设计？

如果看到这个问题

小伙伴的反应是

“这还用问，数学当然是客观的自然规律了”

一点儿都不觉得奇怪

我也曾这样认为

从中学的初等数学和初等物理一路走来

很少人去怀疑一门数学学科是不是自然规律

当学习微积分、概率统计时

也从来没有怀疑过

唯独线性代数让我产生了怀疑

因为它的各种符号和运算规则太抽象 太奇怪

完全对应不到生活经验

线性代数

引发了我去思考一门数学学科的本质

其实

不止是学生

包括很多数学老师

都不清楚线性代数到底是什么  有什么用

不仅国内如此

国外也是这样

国内的孟岩写过《理解矩阵》

国外的Sheldon Axler教授写过《线性代数应该这样学》

都没有从根本上讲清楚线性代数的来龙去脉

对于我自己来讲

读大学的时候没有学懂线性代数

反而是后来从编程的角度理解了它

很多人说数学好可以帮助编程

我恰好反过来了

对程序的理解帮助了我理解数学

下面老九君就带小伙伴们

做一次程序员在线性代数世界的深度历险！

既然是程序员

在进入线性代数的领域之前

我们先考察一番程序世界

请思考这样一个问题：

计算机有

汇编、C/C++、Java、Python等通用语言

还有Makefile、CSS、SQL等DSL

这些语言是一种客观的自然规律还是人为的设计呢？

为什么要问这样一个看起来很蠢的问题呢？

它的答案显而易见

对天天使用的程序语言的认识

一定胜过抽象的线性代数

程序语言虽然包含了内在的逻辑，

但它们本质上都是人为的设计

所有程序语言的共同性在于

建立了一套模型

定义了一套语法

将每种语法映射到特定的语义

程序员和语言实现者之间遵守语言契约

程序员保证代码符合语言的语法

编译器/解释器保证代码执行的结果

符合语法相应的语义

比如

C++规定用new A()语法在堆上构造对象A

这样写了C++就必须保证相应的执行效果

在堆上分配内存并调用A的构造函数

否则就是编译器违背语言契约

从应用的角度，我们能不能把线性代数视为一门程序语言呢？

答案是肯定的，我们可以用语言契约作为标准来试试。

假设有一个图像，我们想把它旋转60度，再沿x轴方向拉伸2倍；

线性代数告诉我们，“行！按我的语法构造一个矩阵，再按矩阵乘法规则去乘你们的图像，我保证结果就是你们想要的”。

实际上，线性代数和SQL这样的DSL非常相似，下面来作一些类比：

模型和语义：SQL是在低级语言之上建立了关系模型，核心语义是关系和关系运算；线性代数在初等数学之上建立了向量模型，核心语义是向量和线性变换

语法：SQL为每种语义定义了相应的语法，如select, where, join等；线性代数也定义了向量、矩阵、矩阵乘法等语义概念相应的语法

编译/解释：SQL可以被编译/解释为C语言；线性代数相关概念和运算规则可以由初等数学知识来解释

实现：我们可以在MySQL、Oracle等关系数据库上进行SQL编程；我们也可以在MATLAB、Mathematica等数学软件上进行线性代数编程

所以，从应用的角度看，线性代数是一种人为设计的领域特定语言(DSL)，它建立了一套模型并通过符号系统完成语法和语义的映射。

实际上，向量、矩阵、运算规则的语法和语义都是人为的设计，这和一门语言中的各种概念性质相同，它是一种创造，但是前提是必须满足语言契约。

为什么要有线性代数？

可能有人对把线性代数当成一门DSL不放心，给一个矩阵，你就把我的图形旋转了60度沿x轴拉伸了2倍，我总感觉不踏实啊，我都不知道你“底层”是怎么做！

其实，这就像有的程序员用高级语言不踏实，觉得底层才是程序的本质，老是想知道这句话编译成汇编是什么样？那个操作又分配了多少内存？别人在Shell里直接敲一个wget命令就能取下一个网页，非要用C语言花几十分钟来写一堆代码才踏实。

所谓底层和上层只是一种习惯性的说法，并不是谁比谁更本质。

程序的编译和解释本质上是不同模型间的语义映射，通常情况下是高级语言映射为低级语言，但是完全也可以把方向反过来。Fabrice Bellard用JavaScript写了一个虚拟机，把Linux跑在JavaScript虚拟机上，这就是把机器模型往JavaScript模型上映射。

建立新模型肯定依赖于现有的模型，但这是建模的手段而不是目的，任何一种新模型的目的都为了更简单地分析和解决某一类问题。

线性代数在建立的时候，它的各种概念和运算规则依赖于初等数学的知识，但是一旦建立起来这层抽象模型之后，我们就应该习惯于直接利用高层次的抽象模型去分析和解决问题。

说到线性代数是为了比初等数学更容易地分析和解决问题，下面我们通过一个例子来实际感受一下它的好处：

给定三角形的顶点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，求三角形的面积：

初等数学中三角形面积最著名的计算公式是area = 1/2 * base * height 

当三角形有一条边恰好在坐标轴上时我们就很容易算出它的面积。

但是，假如同样一个三角形我们把坐标轴旋转一下，让它的边不在坐标轴上，怎么办？我们还能得到它的底和高吗？

答案肯定是可以的，但是就明显复杂了，而且还要分很多种情况去分别讨论。

相反，如果我们用线性代数知识来解决这个问题就非常轻松。

在线性代数中两个向量a，b的叉积(Cross Product)是一个向量，其方向与a，b垂直，其大小等于a，b构成的平行四边形的面积:

我们可以把三角形的边视为向量，所以三角形的面积等于两个边向量的叉积向量的长度除以二：

area = 1/2 * length(cross_product((x2 - x1, y2 - y1), (x3 - x1, y3 - y1)))

注：length表示取向量长度，cross_product表示两个向量的叉积。

这样一个在初等数学里面有点儿小难的问题在线性代数中瞬间搞定！

可能有人会说，直接基于叉积来做，当然简单了，但是叉积本身不是也挺复杂的吗？把它展开试试看呢？

是的，模型的作用就是把一部分复杂性隐藏到模型中，使得模型的使用者可以更加简单地解决问题。曾经有人质疑C++太复杂，C++之父Bjarne Stroustrup这样回答：

Complexity will go somewhere: if not the language then the application code.

在特定环境下，问题的复杂性是由其本质决定的，C++把一部分的复杂性纳入了语言和标准库，目的是使得应用程序更为简单。

当然，并非所有场合C++都使得问题更加简单，但是从原理上讲，C++的复杂性是有道理的。

除了C++，Java、SQL、CSS等各种语言和框架莫不如是，想象一下，如果不使用数据库，动不动就自己去做数据存储和管理是多么复杂啊！

这样我们就不难理解为什么线性代数要定义叉积这样奇怪的运算了，它和C++把很多常用的算法和容器纳入STL是同一道理。

同样的，甚至小伙伴还可以在线性代数中定义自己想要的运算拿来复用。

所以，数学一点儿不死板，它和程序一样是活活泼泼的，小伙伴们理解了它的来龙去脉就能驾驭自如。说到这里，我们就顺便回答一个很常见的疑惑：

线性代数的点积、叉积还有矩阵运算都很奇怪，为什么要定义这些运算呢？它们的定义又为什么是这个样子呢？

其实，和程序复用一样，线性代数定义点积、叉积和矩阵运算是因为它们的应用非常广，有很大的复用价值，可以作为我们分析和解决问题的基础。

比如，很多问题都涉及到一个向量到另一个向量的投影或是求两个向量的夹角，那么就会考虑专门定义点积(Dot Product)这个运算：

点积概念的提出属于设计，有发挥创造的余地；一旦设计定了，具体公式就不能随意发挥了，必须符合逻辑，保证它映射到初等数学模型的正确性。

这就像一门高级语言可以定义很多概念，什么高阶函数、闭包等等，但是它必须保证映射到底层实现时在执行产生的效果符合其定义的规范。

线性代数好在哪里？

上面说了，线性代数是一种高层次抽象模型，我们可以采用学习一门程序语言的方法去学习它的语法和语义，但是这一认识不只针对线性代数，它是对每一门数学学科通用的，可能有人会有疑问。

微积分、概率论也是高层次抽象，那么线性代数这种高层次抽象的特点在哪里呢？

这就问到了根本上，线性代数的核心：向量模型。

我们在初等数学中学习的坐标系属于笛卡尔所提出的解析模型，这个模型很有用，但同时也有很大的缺点。

坐标系是人为加上的虚拟参考系，但是我们要解决的问题，比如求面积，图形旋转、拉伸等应用都是和坐标系无关的，建立一个虚拟的坐标系往往无助于解决问题，刚才三角形面积的例子就是这样。

向量模型很好地克服了解析模型的缺点，如果说解析模型代表了某种“绝对性”的世界观，那么向量模型就代表了某种“相对性”的世界观，我推荐把向量模型和解析模型看作对立的两种模型。

向量模型中定义了向量和标量的概念。向量具有大小和方向，满足线性组合法则；标量是只有大小没有方向的量（注：标量的另一种更深刻的定义是在旋转变换下保持不变的量）。

向量模型的优点之一是其坐标系无关性，也就是相对性，它在定义向量和运算规则的时候从一开始就抛开了坐标系的束缚，不管坐标轴怎么旋转，我都能适应，向量的线性组合、内积、叉积、线性变换等等运算全部都是坐标系无关的。

注意，所谓坐标系无关性不是说就没有坐标系了，还是有的，刚才三角形例子的顶点就是用坐标表示的，只是在解决问题的时候不同的坐标系不会构成影响。

用一个比喻，Java号称平台无关，不是说Java就是空中楼阁，而是说小伙伴用Java编程时底层是Linux还是Windows往往对自身没有影响。

向量模型有什么好处呢？

除了刚才三角形面积问题是一个例子，下面再举一个几何的例子：

给定三维坐标系中的一点(x0, y0, z0)和一个平面a*x + b*y + c*z + d = 0，求点到平面的垂直距离？

这个问题如果是要从解析几何的角度去解决几乎复杂到没法下手，除非是平面恰好是过坐标轴的特殊情况，但是如果从向量模型考虑就很简单：

根据平面方程，平面的法向量(Normal Vector)是v=(a, b, c)，设从平面上任意一点(x, y, z)到(x0, y0, z0)的向量为w，那么通过点积dot_product(w, v)算出w到v的投影向量p，其大小就是(x0, y0, z0)到平面a*x + b*y + c*z + d = 0的垂直距离。

这里用到了向量模型的基本概念：法向量，投影向量，点积，整个问题解决过程简洁明快。

下面再给小伙伴们留一道相似的练习题（熟悉机器学习的朋友可能会发现这是线性代数在线性分类中的应用）：

给定n维空间中的两点(a1, a2, ... an)，(b1, b2, ... bn)和一个超平面c1*x1 + c2*x2 ... + cn*xn + d = 0，请判断两点在超平面的同侧或异侧？

离开向量，下面我们要请出线性代数的另一个主角：矩阵(Matrix)。

线性代数定义了矩阵和向量、矩阵和矩阵的乘法，运算规则很复杂，用来做什么也不清楚，很多初学者都不能很好地理解，可以说矩阵是学好线性代数的拦路虎。

遇到复杂的东西，往往需要先避免一头陷入细节，先从整体上把握它。

其实，从程序的角度看，无论形式多么奇怪，它无非是一种语法，语法必然对应了语义，所以理解矩阵的重点在于理解其语义。

矩阵的语义不止一种，在不同的环境中有不同的语义，在同一环境中也可以有不同的解读，最常见的包括：

1)表示一个线性变换；

2)表示列向量或行向量的集合；

3)表示子矩阵的集合。

矩阵作为一个整体对应的是线性变换语义：用矩阵A乘以一个向量v得到w，矩阵A就代表了v到w的线性变换。

比如，如果想要把向量v0按逆时针方向旋转60度得到v'，只需要用旋转变换矩阵（Rotation Matrix)去乘v0就可以了。

除了旋转变换，拉伸变换也是一种常见的变换，比如，我们可以通过一个拉伸矩阵把向量沿x轴拉伸2倍（请试着自己给出拉伸矩阵的形式）。

更重要的是，矩阵乘法有一个很好的性质：满足结合率，这就意味着可以对线性变换进行叠加。

举个例子，我们可以把“沿逆时针旋转60度”的矩阵M和“沿x轴拉伸2倍”的矩阵N相乘，得到一个新矩阵T来代表“沿逆时针旋转60度并沿x轴拉伸2倍”。

这是不是很像我们Shell中把多个命令通过管道进行叠加呢？

上面重点介绍了向量模型的坐标系无关性，除此之外，向量模型的另一优点是它能描述线性关系，下面我们来看一个熟悉的Fibonacci数列的例子：

Fibonacci数列定义为：f(n) = f(n-1) + f(n-2), f(0) = 0, f(1) = 1；问题：输入n，请给出求f(n)的时间复杂度不超过O(logn)的算法。

首先，我们构造两个向量v1=(f(n+1), f(n))和v2=(f(n+2), f(n+1))，根据Fibonacci

数列性质，我们可以得到从v1到v2的递推变换矩阵：

并进一步得到：

这样就把线性递推问题转化为了矩阵的n次幂经典问题，在O（log n）时间复杂度内解决。除了线性递推数列，初等数学中著名的n元一次方程组问题也可以转化为矩阵和向量乘法形式更容易地解决。

这个例子是想说明，凡是满足线性关系的系统都是向量模型的用武之地，我们往往可以把它转化为线性代数得到简洁高效的解决方案。

总结

本文提出了一种观点：从应用的角度，我们可以把线性代数视为一门特定领域的程序语言。线性代数在初等数学基础上建立了向量模型，定义了一套语法和语义，符合程序语言的语言契约。

向量模型具有坐标系无关性和线性性，它是整个线性代数的核心，是解决线性空间问题的最佳模型。向量的概念、性质、关系、变换是掌握和运用线性代数的重点。

对于编程来说，学好数学是必不可少的。对于线性代数而言，用编程的方式来思考可以帮助理解。

注：本文转自网络

要说一元一次方程的求解问题，想必是从人类开始使用“算术”开始，就可以了。接下来的介绍的是一元二次、三次、四次方程的代数解，然而这三类方程的求解问题，却跨越了1000多年，然而对于五次及更高次代数方程的求解，我们放弃了根式解的寻找。

一元二次方程

古希腊时期，对一元二次方程的求解问题，主要是从几何的角度考虑。

公元300年左右，古希腊数学家丢番图使用类似于现在的方法，求解一元二次方程

得出解：

求根公式

只是由于未引入复数，所以当b^2-4ac<0时，解无意义。学过一元二次方程的话，会比较熟悉，通过配方来推导出求根公式。

而法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年《论方程的识别与订正》中阐述了一元二次方程根与系数的关系，因此该关系被称为韦达定理。如上述一元二次方程，有两个根x_1、x_2有如下关系：

韦达定理

由一元二次方程的求根公式，不难推导出韦达定理。而韦达定理的逆定理也是成立的。

一元三次代数方程

16世纪的意大利流行数学家之间的“挑战”，利用自己掌握的数学技能，相互之间PK。其中三次方程的解法就引起了一场“腥风血雨”。

塔尔塔利亚

1510年左右，波伦亚大学教授费罗发现了缺少二次项的三次方程：

的解法，并在离世前传给了学生菲奥尔。

1530年左右，塔尔塔利亚得到了缺少一次项的三次方程：

菲奥尔向其提出挑战，但在竞赛前，塔尔塔利亚攻克了缺少二次项的三次方程的解法。

与塔尔塔利亚同时代的卡尔达诺和其助手费拉里，在塔尔塔利亚三次方程解法的基础上，得出了一般三次方程

的解法。并将其收录到自己的数学名著《大衍术》中。也因如此引起了卡尔达诺与塔尔塔利亚的争斗！关于争斗的细节请阅读：狭路相逢的同行，两败俱伤的冤家：三次方程的求解应归功于谁？

接下来看一下三次方程的求根公式的推导，由于《大衍术》的重大影响，公式被称为“卡尔达诺”公式。

假设方程形如：

因为对一般的三次方程：

两端除以a，并令

代入，则可转化为方程(1)的形式。

假设方程(1)的根可以写成x=u+v的形式，这里u和v是待定参数。代入方程整理得：

如果u和v满足：

则方程(2)成立，且由一元二次方程的韦达定理，u^3和v^3是方程

的两个根。利用一元二次方程的求根公式，求解

不妨记

则

其中

结合uv=-p/3使用u和v配对，可得方程(1)的三个根：

其中A或B右边的根式下的式子称为三次方程的判别式。

一元四次代数方程

卡尔达诺的助手费拉里利用配方的方法，将四次方程的求解问题转化为三次和二次方程的求解问题，从而得到了一元四次代数方程的求根公式。接下来介绍一下，一元四次代数方程求根公式的推导过程。

不妨设四次方程形如：

将(6)左侧的后三项移到右边，并在两端同时加上(bx/2)^2，配方得

方程(7)两边加上

其中y是一个与x无关的待定量，可得

方程(8)的右端，在选取恰当的y后，可以写成完全平方的形式。事实上，只要y能满足下面的等式

即可。求解三次方程(9)解得y后，代入方程(8)后，两边开方可以得到两个一元二次方程。解这两个二次方程，得到原四次方程的四个根。

一元五次及更高次代数方程

自从一元四次方程的求根公式问世之后的三个世纪里，数学家们都在寻找五次或更高次的方程的求根公式上。大名鼎鼎的数学大师欧拉、拉格朗日都曾经试图给出五次方程的求根公式，但都没有成功！

拉格朗日找到了求得一至四次方程的求根公式的统一方法——拉格朗日预解式方法，该方法对一

般的五次方程是无效的，以至于拉格朗日认为：更高次方程的求解问题是在向人类的智慧挑战。

拉格朗日

在大量数学家的尝试之后，人们开始怀疑：四次以上的高次方程是否存在根式解？比如高斯在《算术研究》中写道，某些高次代数方程不能够用根式法求解。只是，高斯没有给出严格的证明。但高斯给出了代数基本定理：一元n次多项式方程在复数域上至少有一个根。

高斯

获得实质性进展的是年轻的挪威天才数学家阿贝尔。1824年，22岁的阿贝尔完成论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了五次以上的一般方程不存在根式解。

阿贝尔

与阿贝尔同时代的伽罗华发展了群论方法，并依此证明了一至四次代数方程可解，更高次一般代数方程不可解的证明；除此之外，还找到了方程存在根式解时，其系数所满足的充要条件。

韦达定理：如果一元n次方程

的根分别是x_1,x_2,...,x_n，那么

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