数学中没有捷径

原题 | 数学に王道なし.
作者 | 小平邦彦
译者 | 陈治中
校对 | 胡作玄
译自 | 数学の学ざ方, 岩波书店, 1987 年, pp.77-93。本文来自《数学译林》 

题目是要谈数学的学习方法, 我只想先谈谈笔者自己是怎样学习数学的, 通过回顾来讨论数学的学习方法.

首先, 我在小学生的时候所学习的并不是现在的“算数”, 而是“算术”. 算术大概就是计算术的意思. 学习的内容以计算技术为主, 图形的东西很少. 究竟怎样学习计算技术的, 几乎都忘记了. 但非常记得二年级时每节课就象念经那样背诵乘法九九表. 还记得一件事是计算距离. 当时的度量制以尺、贯、升为基本单位, 6 尺是 1 间, 60 间是 1 町, 36 町是 1 里, 所以它的计算比前些年在现代化之际流行的 2 进制法及 5 进制法要难得多. 我们要反复练习象

这样的计算.

现在的算数中都要教计算的含义. 例如对于分数的除法

为什么我要用 4/5 去除时可以将分子与分母交换而去乘 5/4 呢? 就需要说明它的理由. 我学习算术时就没有这种说明, 只学习这种规则, 即用分数去除时可以将分子与分母交换后去乘, 然后就在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思, 也就记住了. 而所谓明白了它的意思, 也并不是说已经能够说明为什么用分数去除时可以将分子与分母交换后做乘法, 而是指能够非常自如地进行分数的计算及其应用.

中学一年级时学习算术, 从 2 年级到 4 年级学习代数与几何. 对一年级的算术已经亳无记忆. 代数则有 2 次方程的解法、联立 1 次方程式、因式分解, 等等, 因式分解充其量也不过是 4 次式, 代数中还学习了对数的计算与开平方的方法. 所谓开平方法, 说的是如下那样求  的计算法.

当时中学里的有理数为有限小数或循环小数, 但是, 例如,  若按开平方法用小数表示, 就是

永远也开不尽, 是一个非循环而极不规则的无限小数. 故  是无理数, 就是这样子学习的（秋山武太郎:《わかる代数学》11 版, 昭和 57 年, 97 页. 看了这本书, 就明白当时中学的代数大致是什么样的了. ——原注）. 笔者按开平方法计算了 、、 等, 看到的不是循环小数, 也就理解了 、、 等的确是无理数.

但是按开平方去求时, 充其量也不过算到小数点后 10 位左右为止. 实际计算一下  看看, 其计算如下所示的那样, 如果没有相当的毅力, 要计算到 15 位或者 20 位是很难的.

当然, 虽然

到小数点后 10 位都不循环, 但也不能说明  就不是循环小数. 尽管如此, 我们仍然确信  作为非循环的无限小数是个无理数. 那么为什么就没有产生这样的疑问, 即如果再往下计算或许就是循环的了呢? 怎么也想不起来了, 但恐怕是因为看到  的开平方法计算, 随着位数的增加而很快变得很复杂的样子, 就领悟到它不会是循环的. 或者是因为相信了教科书上写的  是非循环的无限小数也未可知. 总之, 反复进行对数计算及开平方法那样的计算练习, 对于培养对实数的感觉, 我认为是极其有效的.

谁都知道  是无理数, 但并非人人都知道  是无理数的证明. 数学家中不知道  是无理数的证明的人似乎也不少. 笔者直到不久前也是其中的一个, 在高木先生的《解析概论》中也只有自然对数的底  是无理数的证明, 而没有  是无理数的证明, 尽管如此, 对是无理数仍然坚信不疑, 恐怕是因为从中学时代起就反复听到说  是无理数的缘故.

本讲座中也没有  是无理数的证明. 即使让  是超越数的证明留给专业书籍, 但  是无理数的证明还是希望记录下来, 所以这里给出 I. Niven 的初等证明. （I. Niven: A simple proof that T is irrational, Bull. Amer. Math. Soc, 53(1947), p. 507. 这一证明在高中的微积分范围内可以理解, 在此意义上是初等的——原注）

证明是反证法. 假定  是有理数就产生矛盾, 为表明这一点, 设  和  是任意的自然数, 令

考虑积分

当  时, . 因此, 由于

所以

正如熟知的那样, 对于任意的实数 , 有

（如果固定一个自然数 , 考虑 , 则

——原注）

故对于 , 若取充分大的 , 则

接着, 由分部积分

因此

重复此分部积分, 因为 , 所以得

又因为 , 所以

故

利用二项式定理展开(1)的右端 , 得

从而

到此为止, 无论  是无理数还是有理数都是成立的. 现设  是有理数:

因为(1)的  是任意的, 所以可设它与  中的分母  相同. 这样一来, 因为

为整数, 由(4),  全是整数, 因此, 由(3)可知 为整数, 与(2)矛盾（证明终）.

从中学 2 年级到 4 年级的 3 年内学习的几何是古典的欧几里得平面几何. 近年来, 数学教育的现代化, 欧几里得平面几何已经从数学的中等教育中消失了. 听说其理由之一是因为欧几里得平面几何在逻辑上不严密. 但当时笔者却觉得欧几里得平面几何是极为严密的学问体系. 而且还通过欧几里得平面几何来学习逻辑. 平面几何也许并不严密, 但这里学到的逻辑却是严密的逻辑. 谢天谢地, 后来无论是在高中还是在大学, 在逻辑方面并没有学到任何更新的东西.

在当时中学的欧几里得平面几何中, 由纸上描绘的图形表示所看到的现象这种自然科学味道很强. 如果把在纸上描绘图形作为一个实验, 把证明看作说明该实验结果的理论, 那么平面几何可以认为就是自然科学. 为了说明这一点, 作为例子, 考察下面这个 Simson 逆定理.

定理 由一点  向  的三边延长线上所作的垂线的垂足 、、 若在一条直线上, 则  位于  的外接圆上.

证明 首先作一图. 引直线 ,  外取又一点 ,  上取三点 、、, 通过 、、分别引直线 、、, 使与直线 、、 垂直. 然后假设  与  的交点为 , 与  的交点为 ,  与  的交点为 , 则可得到由一点  向  的三边或其延长线上作的垂线的垂足 、、 位于一条直线上的图 1, 对于图 1 画出  的外接圆一看,  的确位于其外接圆上.

下面证明  位于  的外接圆上. 由假设, 因为 , 四边形  内接以线段  为直径的圆. 故由圆周角不变的定理

同样因为四边形  内接以线段  为直径的圆, 所以由圆周角不变的定理

看图, 由(1)与(2)可知

故由圆周角不变定理的逆定理, 四点 、、、 位于同一圆周上, 亦即  位于  的外接圆上(证明终).

描绘图 1 以确认  位于  的外接圆上, 到此为止是实验, 而说明该实验结果的理论就是证明. 对于图 1, 作为说明  位于  上的理论, 上述的证明是十分严密的.

而当我们把 Simson 的逆定理看作是由公理所构成的平面几何的形式体系中的定理时, 上述证明并不严密. 为什么呢? 因为图 1 表示了 Simson 的逆定理的一种情形, 还有如下图 2 的情形. 因此, 即使对于图 1 证明了 Simson 的逆定理, 也不表示 Simson 的逆定理对一切场合都成立. 要证明 Simson 的逆定理对一切场合都成立, 就要研究所有的情形, 明确会出现什么样的图形, 必须证明 Simson 的逆定理无论对哪种图形都成立. 而对此, 欧几里得平面几何的公理还不充分, 还必须补充序的公理. （小平邦彦: 《几何のおもしろさ》(数学入门丛书7), 岩波书店, 158-164页. ——原注）

这样, 旧制中学的欧几里得平面几何作为由公理构成的数学体系还缺乏严密性. 但尽管如此, 还是把欧几里得平面几何看作极其严密的体系, 这恐怕是因为它作为图形的自然科学是十分严密的. 在学习平面几何时告诉我们重要的是正确描绘图形, 而这与物理实验必须精密是一回事.

欧几里得平面几何中由于没有序的公理, 如果描绘不同的图形进行讨论, 例如就可以证明任意三角形是等腰三角形. 若把它作为欧几里得平面几何的重大缺陷, 笔者认为是非常可笑的. 物理中做错了实验也会得出奇怪的结果, 由于图形的错误而得出来奇怪的结果可以说是很自然的. 假定不管画出什么样的图形都能得出正确的结果, 反倒难以理解.

我还清楚地记得巧妙添加辅助线解决平面几何问题后的快乐, 而具体是什么样的问题, 以及怎么解决的, 已经全然不记得了.

当时中学的代数与几何教科书是从 2 年级到 4 年级各一册. 3 年级时, 曾与同班的西谷真一两人从头开始做教科书上的问题, 不多时间就把 4 年级为止的问题都做完了. 于是就开始了阅读藤原松三郎著的《代数学》. 《代数学》是专业书, 第一卷大约 600 页, 第二卷也有 700 页, 中学的图书室里还有个竹内端三著的《高等微分学》, 但看到高等的就觉得是很难的数学, 也就敬而远之了. 要是知道《高等微分学》是高中用的微分学, 而《代数学》倒是专业书, 那当然就先读《高等微分学》了.

几乎已经记不起来到底是怎么念的, 以及念的是《代数学》的哪一部分, 但还隐约记得费了不少功夫学习开始的整数系的公理结构, 以及接下来的二次剩余互反律, 连分数还比较容易, Galois 理论却怎么也不明白, 等等. 幸好现在又出版了用片假名写的保留原来旧汉字的老版本《代数学》（藤原松三郎: 《代数学》1-2卷, 内田老鹤圃新社. ——原注）, 我才得以在浏览该书的同时尽可能地回忆当时是怎样来学习的.

《代数学》的第一章第一节, 首先根据 Peano 公理定义了自然数系:

• :  包含 1.
• :  中之数  恒存在唯一后继数, 设为  .
• : 1 无前驱数.  中除 1 外之数  恒存在唯一之前驱数, 设为.
• :  由 1 的后继数 , , 组成.

如此定义了自然数系  后, 1 的后继数  称 2, 2 的后继数  称 3, 3 的后继数  称 4, 依次定义 5, 6, .

又由  的公理可以导出数学归纳法原理.

第二节中将  推广到全体整数的系统 , 按数学归纳法证明了, 关于整数的加法与乘法的交换律、结合律、分配律成立. 笔者费了很大的劲才理解这一证明. 与现在的 算数 不同, 算术中交换律与结合律从一开始就明确了, 所以并不是作为运算法则而特别学习的. 其证据就是乘法口诀表只背诵  当  的情形, 而当  时则是用  替换 后计算, 就是这样学习的. 笔者至今当做

那样的乘法时, 仍不由自主地计算为

本来是作为理所当然的事情而接受的交换律等等, 现在又要按数学归纳法重新加以证明, 所以理解其证明就很不容易. 还要煞费苦心故意装着不知道交换律, 在笔记本上抄下证明.

第二章是有理数域的数论. 记得这里第六节高木先生关于二次剩余互反律的证明很难. 正如熟知的那样, 对于自然数  与整数 , 当满足

的整数  存在时, 称  为  的二次剩余. 当  为奇数时, 定义 Legendre 记号为: 若  是二次剩余则为 . 若  非二次剩余则为. 这样, 互反律

就成立. 高木先生关于互反律的证明很简明, 现在读起来很明白, 但对于当时是中学生的笔者却很难理解. 为了理解则将其抄在笔记本上, 费了不少功夫, 最终也就记住了证明. 还记得自己也觉得是搞懂了.

第三章是无理数, 第二节是 Cantor 的无理数论, 他是把无理数作为有理数列的极限而引进来的. 第四节是 Dedekind 基于分割的无理数论. 关于 Cantor 的无理数论还隐约有些记忆, 而对于 Dedekind 的分割已毫无记忆了, 大概是因为不懂就跳了过去.

第四章连分数很明白, 记得还很有意思. 特别留下印象的是如下定理, 即实数是二次无理数的充分必要条件是其连分数展开为循环连分数.

其次留有记忆的是第七章行列式的定义

中置换

的符号的意思怎么也不明白. 最终是明白了, 但怎么搞懂的已经全然记不得了.

接下来还记得第十一章的 Galois 理论怎么也弄不明白. 章末的诸定理中还有 Loewy 的 Galois 理论. 因在高中(旧制)一年级时详细学习了 Loewy 的 Galois 理论, 笔记本还留着, 所以大概是进高中以后才念的 Galois 理论.

得益于在《代数学》中的苦心钻研, 后来无论是在高中还是大学, 数学方面没有费多大的劲就过去了. 无论是在课堂上还是自己读书, 只要仔细抄写在笔记本上也就明白了.

大学一年级时听了高木先生的解析概论课. 在练习中有这样的问题, 在区域  中, 若  是无理数, 则 ; 若  是有理数( 为既约分数且 )则定义为  的函数 其连续性如何呢? 如所周知, 若  是有理数, 则  在 处不连续; 若  是无理数, 则在  处连续. 关于这一点, 还记得稍稍改变了 的定义, 即假设当  是无理数时 , 当  是有理数时 . 那么若 有理数, 则  在  处不连续; 若  是无理数, 则在  处连续, 进而还注意到, 若  是二次无理数, 则在  处可微分. 从这时候起就开始考虑定理的其他证明, 或者将问题改变一下看看.

以上叙述了笔者是怎么学习数学的, 但回过头来看看, 首先注意到数学的理解方法有多种多样. 一般来说仅仅靠背是不行的, 必须理解其意思. 连文部省的 算数 指导要领中也有如“对于分数要理解乘法及除法的意义, 扩展使用它们的能力”这一项. “理解”常被认为是“背记”的对立面, 实际上似乎并不是那么简单的.

笔者从中学时候起就很好地“理解”了  是无理数, 但直到不久前还不知道它的证明. 也许大家觉得, 既然不知道证明, 那就不是理解而是“背记”. 但不可思议的是, 一开始读到上述 I. Niven 的证明时, 也并没有感到由此而对  是无理数这一事实的理解深刻了多少, 感觉到的是他的证明只不过确认了是无理数这一明显不过的事实, 仅此而已那么为什么不知道证明却又坚信自己很清楚  是无理数这件事呢? 究其理由大概有三个, 即从中学生时候起反复教我们  是无理数; 同时看到小数展开

（当时,  的展开只知道 1874 年 W. Shanks 计算到了 707 位, 后来到了 1946 年知道 Shanks 的结果从 528 位开始错了. 现在  利用计算机可以计算到 1 亿位以上. ——原注）

就觉得它不象是循环的; 再有就是到大学后听说了 Lindermann 在 1882 年关于  是超越数的证明.

为了理解数学的定理, 一般是一步一步循着证明的论证走. 但是循着证明的论证走是为了看看定理所叙述的数学现象的机理, 而不是为了确认证明是正确的, 为什么呢? 因为显然没有必要各自都去确认著名定理的证明是正确的. 根据学习《代数学》时的经验, 开始只要把不明白的证明抄写在笔记本上背出来, 不知不觉中也就明白了, 至少感觉到是懂了. 将不明白的证明在笔记本上反复抄写, 直到背出来为止, 我认为这是学数学的一种方法. 初等几何的大家秋山武太郎先生的名著《通俗几何学》的绪言中也有这样的句子: 特别地, 因为几何学是数学中要背的东西, 所以连问题都必须记住（秋山武太郎:《わかゐ几何学》5 页——原注）. 顺便说一下, 古屋茂与笔者的弟弟在武藏高校(旧制)都随秋山先生学习过平面几何, 据说不管带着什么样的难题去问, 先生马上当场就解给他们看.

要是那样的话, 不就是说证明只要背下来也就明白了吗? 似乎还未必如此. 在反复记笔记中间, 在大脑中就产生了些什么, 从而就明白了! 好象就是这样的. 如果什么也没有产生, 那么尽管背了下来, 也还是不会明白的. I. Niven 关于  是无理数的原先的证明非常简单明了, 但开始读的时候, 感觉就象看到了巧妙的戏法, 却没有感觉到是明白了. 而为了写作本稿, 多次抄写在笔记上改写证明, 这才觉得是弄明白了.

笔者也有这样的经验, 即反复在笔记上抄写却还是弄不明白, 这就是十几年前, 当我想要了解从未接触过的数学基础理论到底是什么样的学问, 而去阅读 Kleene 的 Introduction to Metamathematics, 以及 Schoenfield 的 Mathematical logic 等书的时候. 因为觉得数学基础理论是最严密的数学, 所以只要仔细循着其论证走就能清楚明白了, 从这样的假定开始阅读, 不要说清楚明白, 简直是迷迷糊糊一无所获. 虽然非常仔细地抄写在笔记本上苦心钻研, 还是如坠五里雾中, Gödel 的不完全性定理好容易明白了一些, Cohen 的力迫法却始终也搞不懂. Kleene 的书与 Schoenfield 的书都是研究生院一年级的教科书, 所以青年学生应该很容易就能读懂的. 但是稍微上了点年纪就怎么也弄不明白了, 真是不可思议的现象.

对于应用广泛的基本定理则经常有这样的事, 即, 开始时循着证明的论证一步一步走都搞明白了, 又由于定理的频繁使用也完全记住了, 但这期间证明的方法却被慢慢地忘得一干二净. 然而, 决不是说忘记了证明就说定理也不明白了, 倒还不如说是在反复应用定理的过程中反而越发加深了对定理本身的理解.  是无理数这一定理就属于虽然不知道证明但却完完全全是非常清楚的. 人们也许会说不知道证明却完全理解的定理恐怕是个例外, 但实际上我觉得未必是例外. 1953 年 F. Hirzebruch 在代数簇的场合证明了 Riemann-Roch 定理, 猜想该定理在复流形时也照样成立, 1963 年传来了 Atiyah 与 Singer 证明了复流形的 Riemann-Roch 定理的消息. 因为知道使用 Riemann-Roch 定理就可以进行复解析曲面分类的研究, 所以笔者立即就开始了复解析曲面分类的研究. 那时, 对笔者来说, 复流形的 Riemann-Roch 定理就是一个完全理解但却不知道其证明的定理. 再有, 当 1952 年周炜良和笔者在合作的论文中证明具有两个代数无关的有理函数的 Kähler 曲面是非奇异代数曲面时, 证明中用到的代数曲面的奇点消灭定理, 对笔者来说, 也是一个不知道证明但非常清楚的定理. 象奇点消灭定理那样最最基本而证明非常长的定理, 实际上, 虽然不知道证明, 但作为完全理解了的定理, 能够应用的场合并不少. 近期出现了在证明中使用计算机的新型定理. 那么什么叫做理解了这种定理呢, “理解”的含义已经越来越扩展了.

再说数学的学习方法, 打开数学书一看, 就是若干个定义与公理, 以及定理的证明: 为了理解定理, 首先要阅读证明, 循着其论证一步一步看. 最好是弄懂证明, 如果不明白时, 就在笔记上反复抄写看看, 大多数情形就会明白的. 我觉得, 在笔记上反复抄写不懂的证明是数学的一个学习方法. 如果反复在笔记上抄写仍不明白, 那该怎么办才好呢? 我也不太知道. 但笔者在学习 Schoenfield 的书时, 尽管反复在笔记上抄写, 但仍然不明白力迫法, 所以干脆也就不了了之. 那时因为作者已接近退休, 又不是非学数学基础的理论不可, 倒也无可非议. 而对大学数学专业的学生, 笔者本人希望, 既然已经是数学专业的学生, 那么本着读书百遍, 其义自见, 对  论法也同样, 在笔记上抄写上百遍, 就一定能明白的.

如上那样一旦明白了的定理, 为了加深对其理解, 尝试想想别的证明是很有效的. 这是因为另外的证明是表示从另一角度去看定理所叙述的数学现象的机理.

例如全体实数的集合是不可数的, 一般是按 Cantor 的对角线法证明的. 只要按反证法证明 0 与 1 之间全体实数的集合  是不可数的即可. 所以假定  是可数的, 亦即

由此导出矛盾. 为此设  的 10 进小数表示为

这里  表示数字  中的某一个, 选择数字 , 使满足条件

令

因为  是 0 与 1 之间的实数, 所以应与  中的某一个一样, 设 , 则 与 (1) 矛盾. 故  不是可数的(证明终).

这一证明虽然简单明了, 但总有一种似乎被花言巧语所蒙骗的感觉. 因此考虑别的证明看看. 假定全体实数的集合  是可数的, 亦即

由此导出矛盾. 对于各个 , 固定一个包含  的开区间

由 (2), 因为

在实直线  上任意选取闭区间  时, 若考虑区间

的宽度, 则由(3)可以想象,  的宽  比  中的宽度总和小:

实际上可以很容易确认(4)成立. 因为闭区间  可以被开区间  覆盖, 所以由 Heine-Borel 覆盖定理,  就被  中的有限个覆盖:

这时显然为

（本讲座《解析入门》51-52 页——原注） 故(4)成立.

取定一个实数 , , 若取  是以  为中心, 宽度为  的开区间

则

这与(4)矛盾. 故  不是可数的(证明终).

这就得到了实数集合是不可数的另一证明, 这另一证明虽然比用对角线法的证明要麻烦, 但并没有被花言巧语所蒙骗之感. 由这个另外的证明,  不仅是不可数的, 而且知道  的可数子集只不过占了  的极小一部分. 为什么呢? 因为假设  是  的可数子集, 则对于任意的 , ,  被宽度总和为  以下的开区间  所覆盖.

再有, 为了加深对定理的理解, 尝试将定理应用于各种各样的问题中也是很有效的. 如果已经可以自如地应用定理, 那么该定理应该算是完全理解了, 在定理的各种各样的应用中往往就忘掉了定理的证明, 但即使忘掉了证明, 对定理的理解并没有改变.

象这样虽然已经忘掉了证明但却完全理解的定理不胜枚举, 而对于这种定理, 现在所知道的只是, 我自己都曾经循着证明的论证一步一步做过. 与此相对, 则是知道曾经有其他人循着证明的论证一步一步做过、而又屡屡应用的定理, 即是那种不知道证明却很明白的定理. 知道证明但却忘掉了, 与完全不知道证明, 虽然看起来好象非常不一样, 但自己循着证明的论证一步一步做过所知道的, 与有人循着证明的论证一步一步做过所知道的, 也可以认为没有太大的差别. 如果这样的话, 那么不知道证明却完全明白的定理, 与证明虽已忘掉但完全理解的定理, 也并没有多大的差别因为有了这种信心, 所以才能应用这种定理.

最后, 所列举的数学的学习方法就是, 将不懂的证明在笔记上反复抄写下来看看、考虑另外的证明、试着将定理应用于各种问题, 这些都是非常平凡的事情. 所谓几何上没有捷径(欧几里得), 恐怕就是说数学上没有捷径.

本文转自：《数学译林》