要说一元一次方程的求解问题，想必是从人类开始使用“算术”开始，就可以了。接下来的介绍的是一元二次、三次、四次方程的代数解，然而这三类方程的求解问题，却跨越了1000多年，然而对于五次及更高次代数方程的求解，我们放弃了根式解的寻找。

一元二次方程

古希腊时期，对一元二次方程的求解问题，主要是从几何的角度考虑。

公元300年左右，古希腊数学家丢番图使用类似于现在的方法，求解一元二次方程

得出解：

求根公式

只是由于未引入复数，所以当b^2-4ac<0时，解无意义。学过一元二次方程的话，会比较熟悉，通过配方来推导出求根公式。

而法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年《论方程的识别与订正》中阐述了一元二次方程根与系数的关系，因此该关系被称为韦达定理。如上述一元二次方程，有两个根x_1、x_2有如下关系：

韦达定理

由一元二次方程的求根公式，不难推导出韦达定理。而韦达定理的逆定理也是成立的。

一元三次代数方程

16世纪的意大利流行数学家之间的“挑战”，利用自己掌握的数学技能，相互之间PK。其中三次方程的解法就引起了一场“腥风血雨”。

塔尔塔利亚

1510年左右，波伦亚大学教授费罗发现了缺少二次项的三次方程：

的解法，并在离世前传给了学生菲奥尔。

1530年左右，塔尔塔利亚得到了缺少一次项的三次方程：

菲奥尔向其提出挑战，但在竞赛前，塔尔塔利亚攻克了缺少二次项的三次方程的解法。

与塔尔塔利亚同时代的卡尔达诺和其助手费拉里，在塔尔塔利亚三次方程解法的基础上，得出了一般三次方程

的解法。并将其收录到自己的数学名著《大衍术》中。也因如此引起了卡尔达诺与塔尔塔利亚的争斗！关于争斗的细节请阅读：狭路相逢的同行，两败俱伤的冤家：三次方程的求解应归功于谁？

接下来看一下三次方程的求根公式的推导，由于《大衍术》的重大影响，公式被称为“卡尔达诺”公式。

假设方程形如：

因为对一般的三次方程：

两端除以a，并令

代入，则可转化为方程(1)的形式。

假设方程(1)的根可以写成x=u+v的形式，这里u和v是待定参数。代入方程整理得：

如果u和v满足：

则方程(2)成立，且由一元二次方程的韦达定理，u^3和v^3是方程

的两个根。利用一元二次方程的求根公式，求解

不妨记

则

其中

结合uv=-p/3使用u和v配对，可得方程(1)的三个根：

其中A或B右边的根式下的式子称为三次方程的判别式。

一元四次代数方程

卡尔达诺的助手费拉里利用配方的方法，将四次方程的求解问题转化为三次和二次方程的求解问题，从而得到了一元四次代数方程的求根公式。接下来介绍一下，一元四次代数方程求根公式的推导过程。

不妨设四次方程形如：

将(6)左侧的后三项移到右边，并在两端同时加上(bx/2)^2，配方得

方程(7)两边加上

其中y是一个与x无关的待定量，可得

方程(8)的右端，在选取恰当的y后，可以写成完全平方的形式。事实上，只要y能满足下面的等式

即可。求解三次方程(9)解得y后，代入方程(8)后，两边开方可以得到两个一元二次方程。解这两个二次方程，得到原四次方程的四个根。

一元五次及更高次代数方程

自从一元四次方程的求根公式问世之后的三个世纪里，数学家们都在寻找五次或更高次的方程的求根公式上。大名鼎鼎的数学大师欧拉、拉格朗日都曾经试图给出五次方程的求根公式，但都没有成功！

拉格朗日找到了求得一至四次方程的求根公式的统一方法——拉格朗日预解式方法，该方法对一

般的五次方程是无效的，以至于拉格朗日认为：更高次方程的求解问题是在向人类的智慧挑战。

拉格朗日

在大量数学家的尝试之后，人们开始怀疑：四次以上的高次方程是否存在根式解？比如高斯在《算术研究》中写道，某些高次代数方程不能够用根式法求解。只是，高斯没有给出严格的证明。但高斯给出了代数基本定理：一元n次多项式方程在复数域上至少有一个根。

高斯

获得实质性进展的是年轻的挪威天才数学家阿贝尔。1824年，22岁的阿贝尔完成论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了五次以上的一般方程不存在根式解。

阿贝尔

与阿贝尔同时代的伽罗华发展了群论方法，并依此证明了一至四次代数方程可解，更高次一般代数方程不可解的证明；除此之外，还找到了方程存在根式解时，其系数所满足的充要条件。

韦达定理：如果一元n次方程

的根分别是x_1,x_2,...,x_n，那么

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