最近有学生家长希望我写点东西，说一说孩子学数学到底要不要刷题，因为即便在家庭内部，爸爸和妈妈可能都会有不同的看法：爸爸可能会要求孩子多刷题，多做题就会多出成绩；妈妈可能会心疼孩子，反对搞题海战术......

在国内经历过高考的我们，对于刷题的好处还是情有独钟的，古人云熟能生巧嘛！学数学要不要刷题，这是一个公说公有理婆说婆有理的话题，用语言文字来表述的话估计会有辩论赛，我还是用我熟悉的数学语言来阐述吧

一、今天的主菜

大家还记得AMC美国数学竞赛吧？

先来看看2018年12年级AMC美国数学竞赛的最后一道压轴题：

光看题目有点吓人，各位看官先花点时间好好理解一下题，我先说点题外话：像这样的竞赛题，如果想让孩子通过刷题刷到，恐怕是不太可能，因为这样的考试，每一题都是新题。如果考生在考试中碰到曾经刷过的题，估计可以直接回家买彩票了

二、先来点汤

主菜太难了，还是先上点好汤吧。

下面这道题是PIMS Elmacon数学竞赛 2005 Sprint Round Grade 5的第25题：

这道题估计所有的人都可以算出来，差别只是计算速度的快和慢。

使用一般刷题的方法可以把所有的3X3X3=27个数(因为百位有三种可能，十位有三种可能，个位有三种可能)都写出来，然后用竖式计算一个一个把它们全部加起来，最后得到14985，全部过程估计得花15分钟左右，当然得保证所有加法进位不出任何差错，才能拿到这一分。

有更快的方法吗?

当然得有。

必须得有。

不然整个考试就一个小时，一共26道题，抛去写答案的时间，每道题也就2分钟左右。

经过数学思维和方法训练的孩子不会着急马上下手做题，而是先观察和思考，寻找快速通道。

这道题有两个特点：

1.百位、十位、个位是对称的；

2.需要相加的数太多，硬算太慢，需要想办法把加法变成乘法;

根据自然数十进制的特征，任何一个自然数ABC=100xA+10xB+Cx1;

整个思维过程大概是这样：把这27个数分散成27x3=81个数，然后分成三类分别相加。

1. x100的分类：固定百位为4以后，十位和个位还可以有3x3个变化(十位可以为4、5、6，个位也可以为4、5、6)，因此4x100需要计算9次。百位为5、6同理。因此这一类的和为(4+5+6)x100x9;

2. x10的分类：固定十位为4以后，百位和个位还可以有3x3个变化(百位可以为4、5、6，个位也可以为4、5、6)，因此4x10需要计算9次。十位为5、6同理。因此这一类的和为(4+5+6)x10x9;

3. x1的分类：固定个位为4以后，百位和十位还可以有3x3个变化(百位可以为4、5、6，十位也可以为4、5、6)，因此4x1需要计算9次。个位为5、6同理。因此这一类的和为(4+5+6)x1x9;

    

把这三个分类的数写在一起，再利用乘法分配律合并成乘法表达式，最后得到：

最后的总和=(4+5+6)x(100+10+1)x9

=15x111x9

=1665x(10-1)

=16650-1665

=16650-1650-15

=15000-15=14985.

熟悉速心算的同学可以不用纸和笔，一分钟内就可以将整个思维和计算过程在大脑里完成，得出答案。

而那些仅仅把刷题当成学习任务的孩子，因为缺乏主动探索数学题背后隐藏秘密的精神，没有经历过绞尽脑汁而后苦尽甘来的洗礼，是无法体会到破解数学难题之后所带来的思维之美和方法之美的。

三、再上点凉菜

与上一题类似的数学题比比皆是，如果想通过刷题全部刷上一遍难于上青天哪，而且每道题都不会完全一样，例如滑铁卢2004年高斯数学竞赛八年级的第24题,属于8分难题：

解题方法上与上一题基本一样，即利用自然数十进制的特征：

任何一个自然数ABC=100xA+10xB+Cx1：

将数字写成如上形式后按照题意做一个减法，马上得到A-C=5,利用A、C都为自然数且不为0的特征，可以得到（C,A）共有四个配对，B有10个选择，利用乘法原理很容易得到答案40。

整个解答过程如下：

四、回到主菜

AMC的这道压轴题其实与上面两道题用到的知识点是一样的，即：

An

=10^(n-1)xa+...+100xa+10xa+a

=a(10^n-1)/9;

(需要利用等比数列求和公式)

类似可以得出Bn,Cn。

只需要把这三个式子按照题目条件列出等式，然后做一下线性方程的系数对比分析，再充分利用a,b,c都为非零正整数(这里其实为1-9)的条件可以很快得出a=6,b=8,c=4。

整个解答过程如下：

五、根在哪里

按照智能未来数学(Rootofmath.com)的观点，每一题都有一个根，这三个题的根其实都是自然数的十进制表达：

任何一个自然数

An...A3A2A1A0

=Anx10^n+...+A3x10^3+A2x10^2

+A1x10^1+A0x10^0.

无非就是年级高一点，需要的附属知识更多一点，例如主菜里面的题就需要用到等比数列的求和公式，充分利用等式两边为整数两个知识点。

只要我们掌握了问题的根，任凭题目千变万化，我们只要顺根摸瓜。

六、要不要刷题

通过上述三个问题的讲解，大家是不是已经看到了：

解数学题的关键是思维深度和根。

思维有深度最好的方法就是激发孩子的兴趣。有了兴趣，孩子思考问题才有深度，才能够主动去思考问题背后隐藏的规律，主动去寻找问题的根，主动去发现思维之美和方法之美，碰到具体问题时自然而然就会根据已经掌握的思维方法找到答案。

孩子一旦理解了问题的根，只需要通过做适量题来强化理解解决同根问题的方法，不用花大量时间去刷同质数学题；相反如果能够把这些时间省下来，用在对数学问题的探索和思考上，即便几天只做出来一道难题，这个独立思维过程对孩子的成长会更有帮助，在数学竞赛中也更能出成绩。

再回放一下智能未来数学倡导的数学教育金三角：

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