数学中没有捷径

人类的情感可以用数学语言来表达吗? 今天刚好是5月20日——信息时代的爱情节日，小编带大家来领略一下数学的浪漫！

英国伟大的的数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家牛顿是位百科全书式的“全才”。他的《自然哲学的数学原理》是自然规律和法则的数学表达。他的微积分创造性解决了物理学中众多很难解决的问题。在当时看来，很多问题只能是定性而不能是定量，但是牛顿创造了一种新的数学方法，使看似不可能用数学表达的事物可以用数学的形式表达。

那么，现在提出这样一个问题：人类的情感可以用数学语言来表达吗?

今天刚好是5月20日，信息时代的爱情节日，小编带大家来领略一下数学的浪漫！

爱情数

大家会做因子分解吗？

现在我们来做一道因子分解题：

先把220的因子都写出来：

1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、ll0、220

把这些因子加起来

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

然后把284的因子分解出来：

1、2、4、71、142、284

把所有因子相加

1+2+4+71+142=220

看出来了吗？除了他们本身，220的因子总和是284，284的因子总和是220。

你可能会惊叹，这真是一组奇妙的数字，你中有我，我中有你，宛如一对恋人。

这对数字是数学界发现最早的“爱情数”，又称“亲和数”，发现它们的人的名字是著名的古希腊数学家“毕达哥拉斯”。“爱情数”指的就是这样两个自然数，其中每个数的真因数之和等于另一个数。

220和284是人类最早发现的所有爱情数中最小的一对，也是第一对爱情数。因此，备受古代欧洲人的推崇，甚至赋予其神秘色彩。

据《数学魔术》一书记录，他们相信刻者220和284的两块符咒可以确保佩戴人亲密无间；他们相信吃下刻有220和284的两个水果能产生爱情。就连《圣经》中也有记载，雅各布把220头羊当礼物送给孪生兄弟以扫，神学家们认为山羊的数目220（一对亲和数中的一个）表达了雅各布对以扫的友爱之情。

心形线

相传，著名的数学家笛卡尔在晚年认识了瑞典小公主克里斯汀，并成为她的数学老师，朝夕相处使他们彼此产生了爱慕之心。

笛卡尔（左）与克里斯汀（右）

然而，爱情的道路艰难坎坷，公主的父亲是他们最大的阻力，后来两人便只能通过书信往来。

据说，笛卡尔寄给克里斯汀的最后一封信，内容只有短短的一个公式：

公主看到后，立马在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，终于解开了公式的秘密——这就是美丽的心形线。

看，数学家也有自己的浪漫方式！

心形线是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心形线。

心形线是外摆线的一种，其n为2。它亦可以极坐标的形式表示：r= 1 + cosθ

这样的心脏线的周界为8，围得的面积为3π/2。

心脏线亦为蚶线的一种。

在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。

心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的，意为“像心脏的”。

在笛卡尔坐标系中，心形线的参数方程为：

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）

在极坐标系中的方程为：

ρ(θ)=2r(1-cosθ)

面积：

四个朝向不同的心形线

520

上学的时候大家应该经常想：微积分有什么用？概率统计有什么用？520当天可以用来写数学情书吗？

还真可以！

大家不妨猜一猜，这表达的是什么意思呢?

这个公式是排列组合公式，上面的式子对应的就是

I Choose U.

I choose you. 

再来一个！

Mylove' = 0

大家是不是以为说的是“我的爱等于0”？

注意e'上面有一个“'”，这表达的是导数。

如果Mylove的导数是0，那么说明Mylove的值是个常数，常数的英文是Constant,所以合在一起就是：

My love is constant.

我的爱是永恒的。

最后，小编想用电影《美丽心灵》里的一段台词作为结束语。

It is only in the mysterious equations of love that any logic or reasons can be found. I'm only here tonight because of you. You are the reason I am. You are all my reasons.

只有在这种神秘的爱情方程中，才能找到逻辑或原由来。今晚我能站在这儿全是你的功劳，你是我成功的因素，也是唯一的因素。

数学是浪漫的

  祝大家520快乐！

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一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。——傅鹰

数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。—— F. Cajori

0、引言

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。

“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。

阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．

花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．

1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica）。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”（Father of algebra）的称号。

代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。

1、算术

算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。

--高斯（Gauss,1777-1855）

数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。

--麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺（Peano）进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。

2、初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。

1古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。

代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。韦达（Viète）在他的《分析方法入门》（Inartem analyticem isagoge,1591）著作中，首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算，提出符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。韦达是第一个试图创立一般符号代数的的数学家，他开创的符号代数，经笛卡尔（Descarte）改进后成为现代的形式。笛卡尔用小写字母a, b, c等表示已知量，而用x, y, z代表未知量。这种用法已经成为当今的标准用法。

“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》（Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489）。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德(R. Rcorde)开始使用现在使用的“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特（T. Harriot）创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前4世纪，古希腊人发现无理数。公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺(N. Cardano)在《大术》中开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。

3、高等代数

在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号，表示包括的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。

十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲，第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz，1693年）。

1750年克莱姆（Cramer）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer克莱姆法则）。

1764年，Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述（即把行列式理论与线性方程组求解相分离）的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。

参照克莱姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在《对积分和世界体系的探讨》中，证明了Vandermonde的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。1841年，德国数学家雅可比（Jacobi）总结并提出了行列式的最系统的理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西（Cauchy），他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。

大约在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。

矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。

1848年，英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵（matrix）这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。在1855年矩阵代数得到了Arthur Cayley的进一步发展。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵的逆在内的代数问题。1858年，Cayley在他的矩阵理论文集中提出著名的Cayley-Hamilton理论，即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式

det（AB）=det（A）det（B）为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论。

数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既V×W不等于W×V）的向量代数是由Hermann Grassmann在他的《线性扩张论》（Die lineale Ausdehnungslehre）一书中提出的（1844）。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1的矩阵，或简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs发表了关于《向量分析基础》（Elements of Vector Analysis）的著名论述。其后物理学家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

4、数论

以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。

“2早在公元前3世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”：在写出从1到N的全部整数的纸草上，依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的倍，3倍，……)以及1，在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。

当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。

丢番图的《算术》中给出了求所有整数解的方法。费尔马指出在n＞3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。

数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。

5、抽象代数

抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（modern algebra），它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（Galois, Evariste,1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

(1843年，哈密顿（Hamilton, W. R. ）发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。

1870年，克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；

有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特(Emmy Noether), 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。

诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。

1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。

1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。

诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。

1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

6、后记

现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学。

本文摘自网络

中国在那段举步维艰的历史里、晦暗不明的光景中，中国人在低头前行。按说这样的环境是最不适合优秀人才的生长和发展，但是中国人却不然，那时候的中国有大量的优秀人才涌现出来，群英荟萃、灿烂光辉。

艰苦中的知识分子们，铸就了一个无法超越的璀璨时代，一首令人敬佩的时代之诗。而陈省身则是灿烂星河里无法避免的一颗明星。

年少便是卓尔不凡

关于小学，陈省身只上了一天，因为放学目睹了老师打同学的手心，而不肯再踏入校门一步。陈省身的小学生涯就这样结束了。

陈省身9岁的时候就已经以优秀的成绩，考入嘉兴建校最早的学校——秀州中学的预科一年级。而九岁的陈省身这时已经可以做复杂的数学题。

1922年，陈省身因为父亲升职，而迁往天津，第二年便进入了扶轮中学学习。未满15岁，陈省身就考入南开大学预科，别说是过去，就是教育条件如此之好的今天，也难出这样的天才少年。

遇到恩师

数学系主任姜立夫对陈省身的影响很大。姜立夫开创了南开大学数学系，对于中国的数学事业称得上是先行者。数学系1926级学生只有5名，陈省身和吴大任是全班最优秀的。

陈省身原本想要学物理系，但由于自己不喜欢实验改选了数学系。作为老师的姜立夫自然是十分高兴能有这样优秀的学生，二年级时，姜立夫让陈省身给自己当助手，任务是帮老师改卷子。

如果陈省身是千里马的话，姜立夫就是伯乐，完全正确的欣赏和培养了这匹千里马，使得陈省身这匹“千里马”一跃千里。

进入更高的殿堂

1931年陈省身进入了清华研究院，是我国最早一批的数学系研究生。1934年夏，他毕业了，获硕士学位，成为中国自己培养的第一名数学研究生。同年，获得奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学。

在汉堡大学，他接触了不少数学界的学术大家，接触了顶尖的数学学术知识，对数学无比热爱的陈省身，在数学天堂里遨游，在自己的擅长的领域自然是如鱼得水。1936年，他决定，但他决定去巴黎跟嘉当先生工作一年。

战火没有阻挡他的脚步

1937年，陈省身回国，这一年，战争全面爆发，战争对每个领域都是全方位了的毁灭。民生凋敝、百业不振，但是这并没有打陈省身继续研究数学的热情。陈省身接受聘约之后，随着西南联大一同迁到昆明。当时战局紧张，在昆明的日子也是十分紧张，没有图书馆，教室也很少。

就在这样艰苦的条件之下，陈省身在昆明的轰炸声中写出震惊外国数学研究人员的两篇文章，发表在普林斯顿大学与高级研究所合办的刊物《数学纪事》上，数学家H.外尔和A.韦伊认为陈省身的研究工作达到了很优秀的水准，想要陈省身去往普林斯顿。

1943年陈省身发表了具有划时代意义的论文《关于高斯-博内公式的简单内蕴证明》，这篇论文使得陈省身扬名国际，奠定了他“微分几何之父”的坚定位置。

桃李满天下

1984年陈省身出任了南开大学数学所所长。为祖国培养了大量的优秀人才。陈省身曾是杨振宁本科期间的老师，吴文俊院士也是陈省身的学生。M.I.T有个有名的教授曾听过陈省身的课，他说：“对于我们这代人来说，微积分就是陈省身。”

陈省身是公认的数学家，被美国科学院推选为院士，他开创了一个崭新发领域“整体微分几何”。

一段佳话

陈省身经杨振宁的父亲杨武之介绍认识了当时清华大学数学系教授郑桐荪的女儿——郑士宁。而后二人结婚生了一个儿一女，也是成就了一段佳话。

陈省身在数学领域做出了正大贡献，也为国家挣了光，让国际数学领域也有了中国的出现。2004年12月3日陈省身逝世，享年93岁。就此，他告别了他辉煌的一生。

他的脑子毫不停歇的运转了七十年。这七十年，是他孜孜不倦的七十年。他说：“我读数学没有什么雄心，我只是想懂得数学，如果一个人的目的是名利，数学不是一条捷径。”

培养出优秀子女

陈省身教育孩子，有着与“控制式”的父母不一样的教育方式，他选择“放纵式”的教育。尊重孩子的选择。

陈省身的儿子陈伯龙是数学系研究生，雄心勃勃的想要像父亲一样当一个数学家，但是当他想要进一步深造。陈伯龙去数学研究班听了一节课后，发现自己并不是当数学家的料，他回家向“微积分之父”的父亲请教，却发现自己怎么都弄不明白，陈伯龙终于明白他的能力与天赋不足以让他在这个领域做到优秀。

他把想法说给了父亲之后，陈省身并没有苛责儿子非要让儿子当一个数学家。他建议儿子发挥特长进入商界。陈伯龙最终转学精算，进入了保险业，做了一名精算师。供职四十余年，在自己的领域里也做的风生水起。

陈伯龙回望过去的时候，也认为当初的选择是正确的，自己更适合做精算。陈省身的女儿陈璞原本对物理有兴趣，并且是加州大学伯克利分校物理系毕业。后来读博她又改学了经济，在银行供职几年后，自己就出去独立单干。

毕业后在德州商业银行（现合并到大通银行）工作，任副总裁助理，后自己设立了一个有关经济法规的咨询公司，现为首都银行董事之一。

陈璞在金融领域里也有着自己的一席之地。陈璞在读硕士期间，认识了朱经武。这位朱经武后来成为了我国著名的超导物理学家。陈省身知道后，就拜托杨振宁打听这位朱经武，知道朱经武人很好之后，便放下了心。

陈璞是大数学家之女，著名的物理学家之妻，世界上恐怕也没有别人如此了。这一双儿女虽然没有从事数学，但都是智商超群之辈，但在自己的领域里都活的精彩。

*文章摘自史海观复

在对着乔治梅森大学最近的一届新生致辞时，丽贝卡·戈尔丁（Rebecca Goldin）传递了一个令人沮丧的数据：最近的一项研究显示，36%的大学生在大学四年时间里批判性思维并未显著提高。戈尔丁解释说：“这些学生很难区分事实和观点，也很难区分原因和相关性。”

接着，戈尔丁给出了一些建议：“多修一些数学和科学课程。我认为定量思维是处理我手头信息的最佳工具”。以她引用的研究为例，乍一看，这似乎表明三分之一的大学毕业生是懒惰或无知的，或者高等教育是一种浪费。但戈尔丁告诉她那些双眼发光的听众，如果你仔细观察，你会发现另一个信息：“原来，这三分之一的学生没有修过任何科学课程。”

戈尔丁是乔治梅森大学的数学科学教授，她毕生致力于提高人们的定量思维素养。除了研究和教学职责之外，她还志愿担任中小学数学俱乐部的教练。2004年，戈尔丁成为乔治梅森大学统计评估服务项目的研究主任，这一项目后来发展成为由非营利组织美国科学智识和美国统计协会运营的STATS项目。

当《量子》杂志第一次接触戈尔丁时，她担心自己的双重身份（数学家和公务员）太过“截然不同”，无法在采访中调和。然而在交谈中，我们很快就明显感觉到，在戈尔丁的这两个自我之间发挥沟通协调作用的，正是她的信念：数学推理和研究不仅用途广泛，而且令人愉快。无论是讨论在高维空间中操纵流形，还是讨论统计显著性的意义，她对逻辑的热情都颇具感染力。

《量子》杂志采访了戈尔丁，谈到了如何在抽象思维中发现美、STATS如何帮助记者精通统计知识，以及为什么数学素养可以提高人的能力。以下是经过编辑和精简的对话。

你对数学和定量思维的热情从何而来？

我小的时候从没想过自己喜欢数学。我非常喜欢数列和其他一些奇怪的东西，现在回想起来，这些东西都跟数学有关。我父亲是一名物理学家，他会在餐桌上提出一些奇怪的谜题或谜语，有时我只花一分钟就能解开它们，有时我会说：“唉，我实在不知道那是怎么回事！”但在解决问题的过程中，我的心情整体是轻松愉快的。

你是什么时候意识到，自己可以把对解决谜题的兴奋应用到专业的数学学习上？

其实已经很晚了。当我在哈佛大学读书的时候，我修了一门拓扑学的课。拓扑学是研究空间的学科，它跟我之前见过的所有课都不一样。它不是微积分，没有复杂的计算。拓扑学里的问题真的非常复杂而特别，而且很有趣，这是我从未预料到的。这种感觉有点儿像是坠入爱河。

你的主要研究方向是辛几何和代数几何。你如何向非数学工作者描述自己的工作？

可以这么说，我在研究数学对象的对称性。当你对宇宙一类的东西感兴趣时，对称就出现了。在我们的宇宙中，地球在自转，同时也绕太阳公转，而太阳又在一个更大的星系中旋转。所有这些旋转都是对称性。还有很多其他产生对称性的方法，它们可能会非常非常复杂。所以我们用一种被称为“群”的简洁数学对象来考虑这些对称性。这一点非常有用，因为如果你想解方程，你又知道这些方程中存在对称性，那本质上你就可以在数学上找到一种方法来扔掉这些对称性，让方程变得更简单。

是什么促使你去研究这些复杂的对称的？

我只是觉得它们真的很美。很多数学最终都是艺术性的，而不是实用性的。这就像有时你看到一幅有很多对称性的画，会脱口而出：“哇，真是太神奇了！”但当你学习数学时，你会开始“看到”更高维空间中的对象。你不一定要用雕塑或艺术品的方式来想象它们，但你会开始觉得你所看到的整个对象系统以及它的对称性真的很美。就是美，没有别的好词来描述这种感觉了。

你是如何参与STATS的？

当我成为乔治梅森大学的教授时，我意识到自己想做的不仅仅是研究和数学。我喜欢教书，在象牙塔里，我只是在解决自己认为好奇和有趣的问题，但我也想为象牙塔之外的世界做点什么。

当我第一次加入后来成为STATS的项目时，这个工作有种“挑刺儿”的意思：观察媒体如何谈论科学和数学，并在有人犯错时指出错误。随着我们工作的进展，我对记者如何看待和处理定量问题越来越感兴趣。

报告统计数据时最常见的误区是什么？

最常出现的一个误区是混淆因果关系和相关性。人们会说：“哦，这很明显。这两者之间当然是有区别的。”但当你遇到挑战我们信仰体系的例子时，真的很难把它们分开。我认为，部分问题在于，科学家想探索的问题总是超出他们以现有工具能探索的范畴，而且他们不会每次都明确地告诉你，他们回答的问题未必是你认为他们在回答的问题。

比如，你可能想知道服用激素对已绝经的女性是有益还是有害。所以你会从一个定义明确的问题开始：它是有益的还是有害的？但你不一定能回答这个问题。你能回答的问题是，与对照组（即普通人群）相比，你在研究中招募的那些服用激素的女性（也就是那些特定的女性），她们的心脏病、乳腺癌或中风的发病率是增加了还是减少了。但这可能无法回答你最初的问题——“我也会这样吗？或者像我这样的人呢？或者整个人群呢？”

你希望STATS达到什么目的？

我们的一部分目标是改变新闻界的文化，使人们认识到使用定量论证、并在得出结论前考虑定量问题的重要性。通过这种方式，他们得出的结论是有科学依据的，而不是利用某项研究来推进他们自己的议程——而后者也是科学家可能会做的事：他们可能会有意暗示对某件事的某种解释。我们希望记者们能够在思维上拥有一定的严谨性，当有科学家对记者说“你就是不理解我的复杂统计数据”时，记者就可以挑战他们。

你认为统计素养赋予了公民一种力量。这是什么意思？

我的意思是，如果我们没有处理定量信息的能力，那我们通常做的决定就会更多地基于我们的信念和恐惧，而不是实际情况。在个人层面上，如果我们有定量思考的能力，我们就能对自己的健康、在风险方面的选择和生活方式做出更好的决定。不管怎样，能不被吓着或逼着做事，是一种非常强大的力量。

在集体层面上，教育的影响一般来说是巨大的。我们越能让人们理解如何以定量的方式看待世界，我们就越能成功地克服偏差、信仰和偏见。

你还说过，让人们理解统计，需要的不仅仅是引用数字。为什么你认为讲故事对传递统计概念很重要？

作为人类，我们生活在各种各样的故事里。无论你的定量素养有多高，你都会受故事影响。它们就像我们脑海中的统计数据。因此，如果你只报告统计数据而不讲故事，人们就不会有那么多兴趣、情感或意愿来参与这些想法。

你在STATS的13年里，媒体对数据的使用情况发生了怎样的变化？

有了互联网，我们看到搜索引擎产生的数据有了大幅增长。记者们越来越善于收集这类数据，并在媒体文章中使用它们。我认为，现任总统特朗普也引发了我们对所谓事实的诸多反思，从这个意义上来说，记者们一般认为掌握事实真相越发重要。

那很有意思。所以，你认为公众对“假”新闻和“另类”事实的认识，正在促使记者们更严格地核查事实？

我确实觉得这很有促进作用。当然了，有时信息会被扭曲，但最终只有极少数记者会扭曲信息。我认为95%的记者和科学家都在为实现这一目标而努力。

你也在儿童数学俱乐部做志愿者。你想让大家理解数学和数学文化中的哪些想法？

我试图引入一些真正不同的、有趣的、引人好奇又奇怪的问题。例如，在一场为孩子们组织的活动中，我带了一堆丝带，让他们了解了一点儿扭结理论。我想让他们明白两件事：第一，学校里的数学并不是全部——还有一个完全不同的世界，它合乎逻辑，同时也优美且富有创造性；第二，我必须让他们感受到：数学是一种快乐的体验

本文摘自《素数的阴谋》（托马斯·林/编著，张旭成/译，中信出版集团·鹦鹉螺，2020年3月）。

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当代中国数学教育三座学术高峰之一的张奠宙教授曾经发布的一篇文章，在文章里这样写道："陶哲轩是2006年的菲尔兹奖获得者，是当今数学界公认的天才之一，在他5岁生日过后，就迈进了离家2英里外的一所公立学校，这所小学的校长答应给陶哲轩提供灵活的教育方案，刚进校时，他和二年级孩子一起学习大多数课程，数学课则与5年级孩子一起上，

7岁时，陶哲轩开始自学微积分，当时校长觉得小学数学课程已经无法满足陶哲轩，就成功地说服了附近一所中学的校长，让他每天去中学听一两堂数学课，1985年初，10岁生日前几个月，他有三分之一的时间在弗林德斯大学度过，修大学二年级的数学，一年级的物理，余下时间在高中学12年级的化学、11年级的地理和拉丁文、10年级的法语、9年级的英语和社会学，墨尔本大学卓越数学教育国际中心主任Garth Caudry教授每周三的下午都和他会面，讨论数学问题"。

1983年4月27日，一篇名为《陶哲轩、7岁、出色的高中生》的报道让克莱门茨首次知道了这个名字，在报道里说，陶哲轩花五分之二的时间在高中学习11年级的数学和物理，其余时间在小学学习，他生于1975年，2岁开始学读写，7岁时已有了16岁学生的学业能力，而且学得轻松，理解透彻，与班上同学相处得很好，

他总是比别的学生提前二节课完成所有的数学作业，他的爱好包括计算、玩电子设备、看科幻小说，他父亲陶象国是医生，出生上海，母亲梁惠兰生于香港，毕业于数理专业，他们1972年从香港移居澳大利亚，还有两个比陶哲轩小的孩子，由于多年来对数学超常儿童的兴趣，克莱门茨细读了这篇报道，并觉得陶哲轩的父母和老师在试图满足他的特别需要方面是足够大胆的，但当时因故没准备去研究他，

1983年6月，在受邀作一个题为"数学特殊才能学生的鉴定"的报告，他提到了关于陶哲轩的报道，讲演后，一位听众向他自我介绍说自己就是陶哲轩的父亲，并邀请他去其家里对陶哲轩的数学能力和行为作出评估，在7月16日，克莱门茨应邀来到其家中，当时，陶哲轩还不满八岁，当走进他家时，他正在房里读一本《微分几何》，闲谈片刻，克莱门茨按通常的超常儿童评估程序对陶哲轩进行了首次评估测试，

让他解澳大利亚教育研究协会（ACER）运算试卷的60个问题，并提醒他一开始不要嘲笑试题容易，因为试题是逐步变难的，陶则十分有趣地回答说："试题又没有耳朵，不会知道我是否笑话它们"，观察他的解答过程，克莱门茨明显看出试题对他太容易了，他完全正确地答对了60道题，按ACER标准，期望12年级学生答对53/60，并且他曾用此卷测过的许多智力优秀的小学生，其中没有一个人得分超过57/60，而陶哲轩还是所测学生中年龄最小的，接着，他又给了陶哲轩出了8个问题，并让其说出每道题的想法，不要求他书面写出，自己作记录，下面是问题和回答：

陶哲轩用9分钟回答了所有问题，他是克莱门茨所测试过的小学生中第一个全部答对的，在陶哲轩解答运算试卷时，他注意到陶常写下适当的代数法则去验证代数步骤，这促使他改变了正常的测试程序，在陶完成上述8个问题后，他们进行了下列谈话（M代表作者，T代表陶哲轩），

M：实数的加法结合律是什么意思？

T：你把括号放在任何地方都没有关系：（a+b）+....+c等于a+...+（b+c）

M：交换律是什么意思呢？

T：你可以改换顺序，a×b=b×a，a+b=b+a

M：群是什么？

T：（回答正确）

M：交换律怎样？

T：在阿贝尔群内成立

M：什么是域？

T：我不知道

M：什么是分配律

T：*对°分配，a*（b°c）等于（a*b）°（a*c）

M：请给我举个例

T：乘法对加法

M：加法对乘法呢？

T：仅在布尔代数中成立

克莱门茨被陶哲轩的回答惊到了，因为他只有7岁，但不仅惊人地掌握了代数定义，而且能自如地运用复杂的数学语言，接着，他又提出如下问题：正方形的边长增加3m，"新"正方形面积比原正方形大39m²，问新正方形边长是多少？

陶哲轩的书面解答见上图，至此，克莱门茨的首次评估测试开始形成初步印象：他喜欢用解析的，非直观的方法，而不太利用直观图象解题，在稍微休息后，他又让陶哲轩书面详细解答如下问题：

陶哲轩对问题2和问题3的解答加深了克莱门茨的看法，他喜欢用解析的，非直观解法策略，在完成这两道题后，作者又给他出了两道较为简单的问题：描出y=x²+x的草图，陶立马完成，接着再让他求出拐点坐标，他写道：dy/dx=2x+1，x=-1/2，y=-1/4，（-1/2，-1/4），而这个回答仅仅只花了20秒钟，问题2，描出y=x³-2x²+x的图象，他约用了1分钟作出如下图的解答，反映出他对微分的掌握情况.

在离开陶哲轩的家之前，克莱门茨向他的父母询问了其智力发展背景和他们的态度，陶的母亲教过中学科学、物理、化学和数学，她有时会指导陶的数学学习，但帮助不大，因为他不喜欢别人在数学方面告诉他该做什么，他喜欢自学数学，放学后常花3-4小时的时间来阅读数学教科书，

第二次评估是在五个星期后，仍在陶的家里进行，此时他已满八岁，评估开始，克莱门茨让他考虑S=｛a+b√2：a、b∈R｝在加法运算下是否构成群，陶立即说道（S，+）是一个群，接着又问他（S，+，×）是否成域，他通过验证予以肯定回答，克莱门茨故意问他关于域的问题，是因为首次评估时他还不知道什么是域，而这次他的回答熟练而简明，已经可以与大学数学专业学生相比，

接着继续测试他对微积分概念和公式的掌握情况，他能说出x²、√x、sinx、sec²x、1/（1+x²）、1/√（1+x²）的导数，但还未学1/x的原函数，在让他求出1/（1-x²）的原函数时，他用代换x=cosθ得出∫dx/（1-x²）=∫-cosecθdθ后就不会做了，提示他用部分分式，但没能帮助他解出来，他对克莱门茨说下几周将学更多的积分内容，接着克莱门茨随手画出了下图，让他求阴影面积，他迅速用积分求出，又问他y=1/x²的图像（x≥1）与x轴所围面积，他亦能正确算得结果为1.

接着让他测试"Monash空间直观测试卷"，他答对27/30，而12年级学生常模平均得分只有24/30，他做错了三题，其中之一如下图1、2所示，如果，图1中的图形放置成图2后，图2中箭头所指的角1和角2原是图1中的什么字母？克莱门茨让陶哲轩说出解决这道题的思路，并作了录音，

他设想旋转二次使图1变为图2那样的位置，并确定了角1为J，但误认为角2为N，他告诉克莱自己对直观问题的转化有困难，在该试中他所犯的另一错误也是由于缺乏对直观图形进行复杂操作的能力，在分析陶上述空间测试答卷表明，他的空间能力发展得特别好，但在解题时，即使需要复杂的思维而又有许多直观方法，他也宁愿使用非直观的分析方法，而不太用需要直观想象的方法，

值得注意的是，伯登（Burden）等人1981年的研究成果指出：宁愿用分析方法而不太用直观方法的学生更善于解空间测试题，克鲁捷茨基则在1976年已指出，空间概念能力和直观抽象数学关系的能力都不是数学才能的必要组成部分，但它们影响个人的数学气质，在陶哲轩解答空间测试卷时，

克莱抄到了他在过去二年准备的22本数学书目，

其中有《矩阵与向量》《数、不等式、线性规划》《国际数学奥林匹克1957-1977》《逻辑基础》《微积分理论和应用》等，他习惯于从头至尾阅读数学书而不是只读几部分，他渴望别人对他应该再读什么书提出建议，陶的父亲告诉克莱门茨，他能惊人地记住自己读过的内容，在几次交谈中，陶哲轩不时打断谈话，和克莱说这是他曾经读过的东西，然后取来一本书，很快找出相关章节给他看，

在完成空间测试题后，克莱又给了他一个关于下述序列的开放性问题，该序列从第二项起每一项是前一项的各位数字的平方和，并让他回答下面四个问题，（1）哪些自然数产生像2和3那样的序列？（2）哪些自然数产生像1和7那样的序列？（3）哪些自然数产生的序列不像1和7产生的序列？（4）其他有趣的方面？并要求他在20分钟之内解答，克莱再次被他的正确解答给惊到了，

下午，克莱又给他出了下面这个问题，其中字母取值为0-9的整数，k=3，求其他字母所代表的数值，并要求他边做边说解法思路，陶很快解出，其解法的明显特点是偏爱于列出和解出关系方程，这又一次显示出他喜欢用分析的、逻辑性强的求解策略.

1983年9月17日，陶的父母再次邀请克莱门茨与弗林德斯大学的达尔森博士一起到他家讨论关于陶哲轩提早进弗林德斯大学的可能性，到家之后，达尔森与陶哲轩几乎谈到了各个数学专题，克莱门茨接着又出了几个问题，让他求出xsinx、e^xcosx、sinx/（sinx+cos）的原函数，最后一题他的解法，完全反映出他已熟知ln｜x｜是1/x的原函数，而上一次评估他还不知道，

再让他求（2x-4/x）^10的常数项，他表示二项式定理方面的题做得不多，于是努力构造帕斯卡三角形以求出答案，克莱门茨让他不需要立马给答案，可以等下次再告诉其快速求解的方法，果然，两星期之后，陶哲轩就能根据一般项迅速求出答案，克莱门茨看到他的一本近期数学作业本，本上每页底下写有日期，他发现陶经常一天在家做3页至5页练习，其中有解二阶微分方程、求积分等题目，有一道题反映出他已能熟用"部分分式法"求积分，而在上次测试时他还不知道，

对于陶哲轩肉眼可见的学习速度，克莱门茨再一次被惊到了，而关于陶哲轩将来的学习，他父母决定1984年不再让他去学校学数学，而在家中继续学代数结构、概率统计、计算数学和数学分析等内容，并且在明年，将他送到弗林德斯大学读数学学位课程，达尔森相信，即使陶哲轩在九岁就开始大学生涯，仍将比大多数大学一年级同学的数学好得多，不过还需要给他提供良好的特殊教育，克莱门茨也同意这一论断，并相信如果陶哲轩在今年就进入大学，也不会对大学数学课程感到困难，

在其家中，陶哲轩还提到了他对自己所编的"求完全数"的计算机程序非常满意，该程序于1983年11月由南澳一家学生数学杂志《Trigon》发表，这是他发表的第一篇文章，不过在1980年8月就曾有报道介绍他在一个儿童俱乐部的数学游戏中很快找出了"紧接在序列9182736后面的四个数字"是4554，还值得一提的是，他在1983年11月非正式参加南澳的大学入学数学I考试，这是给12年级学生取得大学入学资格的3小时考试，他不到2个小时答对93%，根据以上对陶哲轩数学才能和兴趣的评估，

克莱门茨得出了以下十个结论：

（1）他能惊人地长久记住自己所学过的数学定义、证明和思想

（2）尽管他的空间思维能力发展得很好，但他解题时明显（虽然是无意识的）偏于应用语言逻辑思维，而较少用直观思维

（3）他对数学专著有良好的理解能力，即使著作中使用了大量复杂的数学术语和符号

（4）他特别喜欢分析、代数结构、数论和计算等等科目

（5）他不必借助概念的具体模型就能很快掌握抽象的数学概念，

（6）他能对以前未见到的富有挑战性的问题提出解法策略，已能很主动地去探索数学世界的奥秘，他特别喜欢阅读数学史，喜欢寻求所喜爱的一些算法的应用

（7）他自学数学的速度很惊人，这也是许多数学超常儿童的特点

（8）一旦他发现海洋不知道的数学知识，他就产生兴趣，想方法找到有关书本进行学习

（9）某问题一经解出，他便不太愿意检查所做过程，似乎宁愿去做新的事情

（10）他用一种容易与别人交流的方式谈论自己的工作，不会洋洋得意，在进行书面解答时，他常常写的恰如其分使别人能看懂.

1.均值不等式

调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方平均值这几种平均值在不等式推导中经常用到，但是容易搞混他们的大小关系，通过下面的几何图形就可以清楚理解他们之间的大小关系。

2.对数函数延伸

对数的大小比较也让人头疼，但是我们同样可以通过简单的几何图形得到他们之间的大小关系。如下图，LnA = mA*A, LnB = mB*B, 由于mA> mB就可以得到A，B之间的大小关系了。 

3.黄金代换公式

黄金代换公式在三角恒等式推导，三角函数计算，微积分的变量替换等场合会比较常用，通过下图可以清楚了解他们之间的数量关系。

4.反三角函数最实用结论

反三角函数我们使用的机会不多，但是下面的两个结论也是颇有趣的。

５．点到直线的距离公式

通过相似三角形的方式给出了点到直线的距离公式，这种方法颇为形象直观，一下子就指出了距离公式的几何意义。

６．等差数列求和

常见的数列求和公式，下图的几何意义清晰，所有三角形的面积加起来等于大的三角形的面积。

7.平方数求和

平方数求和，这个是三维的几何图形，把左上角的3个图形拼在一起就可以得到右下角的图形，求和公式也呼之欲出了。

８．球的体积公式

祖暅原理，把球的体积公式转换为四棱锥的体积。

９．二倍角公式

二倍角公式也可以通过下面的相似三角形的方式给出。

10．数列的极限

下面的定义的数列的极限相当于两条曲线的交点的横坐标。

*文章图片来源于网络

1.当你点Do It!输入完成所有练习的答案后，系统会让你确认所有答案是否输入正确，确认完毕后请按如下"Submit All"按钮：

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3.红色表示错误，白色表示正确。最右侧一列是Solution,如果需要看某一道题的详细解答步骤，请点击对应题目的Solution链接：

4.如果此题有详细的解题步骤，你可以在弹出窗口中看到详细的解题步骤：

6.对于有老师改卷的课程练习，在Score列可以看到老师对此题给的评分，如果看老师的批改意见请点击Review It!链接：

进来后你就可以看见你对此题写的步骤和老师的批改意见：

请注意：有时候你的电脑会缓存上次你写步骤的图片，如果没有看到老师批改意见请按CTRL+F5清掉浏览器缓存后刷新一下页面试试；

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《来自圣经的证明》收集了数十个简洁而优雅的数学证明，迅速赢得了大批数学爱好者的追捧。如果还有一本《来自圣经的算法》，哪些算法会列入其中呢？最近，有人在StackExchange 上发起了提问，向网友们征集那些来自圣经的算法。众人在一大堆入围算法中进行投票，最终得出了呼声最高的五个算法：

第五名：BFPRT 算法
    1973 年， Blum 、 Floyd 、 Pratt 、 Rivest 、 Tarjan 集体出动，合写了一篇题为 “Time bounds for selection” 的论文，给出了一种在数组中选出第 k 大元素的算法，俗称"中位数之中位数算法"。依靠一种精心设计的 pivot 选取方法，该算法从理论上保证了最坏情形下的线性时间复杂度，打败了平均线性、最坏 O(n^2) 复杂度的传统算法。一群大牛把递归算法的复杂度分析玩弄于股掌之间，构造出了一个当之无愧的来自圣经的算法。

第四名：快速排序
    快速排序算法是 1960 年由英国计算机科学家 C.A.R. Hoare 发明的，是一种既高效又简洁的排序方法，现在已是学习算法的必修内容之一。快速排序的思想并不复杂，妙就妙在那个线性的数据分割过程，而真正最牛 B 的则是对整个算法的时间复杂度分析。我曾写过一个快速排序平均 O(n log n) 的证明，分析过程绝对值得欣赏。

 
第三名：并查集
    严格地说，并查集是一种数据结构，它专门用来处理集合的合并操作和查询操作。并查集巧妙地借用了树结构，使得编程复杂度降低到了令人难以置信的地步；用上一些递归技巧后，各种操作几乎都能用两行代码搞定。而路径压缩的好主意，更是整个数据结构的画龙点睛之笔。并查集的效率极高，单次操作的时间复杂度几乎可以看作是常数级别；但由于数据结构的实际行为难以预测，精确的时间复杂度分析需要用到不少高深的技巧。

 
第二名：KMP 算法
    KMP 算法是一种非常有效的字符串匹配算法，它告诉了人们一个有些反直觉的事实：字符串匹配竟然能在线性时间里完成！整个算法写成代码不足 10 行，但其中蕴含的天才般的奇妙思想让算法初学者们望而却步，而它的复杂度分析则更是堪称经典。

 
第一名：辗转相除法
    辗转相除法是 Euclid 的《几何原本》中提到的一种寻找两个数的最大公因数的算法。无论是简洁的算法过程，还是深刻的算法原理，抑或是巧妙的复杂度分析，都称得上是来自圣经的算法。而扩展的辗转相除法则构造性地证明了，对任意整数 a 和 b ，存在一对 x 、 y 使得 ax + by = gcd(a, b) 。这一结论的普遍性和实用性让它成为了数论中的基本定理之一，在很多数学问题中都能看到它的身影。

注：文章部分内容整理于网络