加拿大智库霍尔研究所近日发表温尼伯大学安娜• 斯托克教授撰写的研究报告：‘如何应对加拿大数学成绩的下跌？’，指出十年前开始实施的小学‘发现式数学’令中小学数学处于危机之中，引发关注。

  　其实，自2013年起，安大略、阿尔伯塔和卑诗省的学生家长就已分别向各省教育厅请愿，指出‘发现式数学’的危害，要求恢复传统教学，强化基本知识技能。很遗憾这些声音被教育当局当成了耳旁风。

　　对于加拿大的数学教育，华裔家长大都感觉相当弱。但究竟弱到什麽程度？斯托克教授举了一个例子：1/3 -1/4 = ？这道选择题有四个答案，仅凭猜测也应有25%的学生答对。然而加拿大的安省、阿省和魁省仅28-33%的学生选择了正确答案；说明绝大多数学生都不会。相比之下，东亚的韩国、新加坡和台湾的正确率为82-86%。

　　还不可怕麽？试想这些连基本分数运算都不会的青少年，以后如何学习中等数学和科学？又如何进入大学和职场？

　　宣称能够‘培养学生探索知识、解决问题能力’的‘发现式数学’，结果却连最基本的知识都未能教给学生。这究竟怎麽回事？

　　二

　　发现式数学在内容结构、教学方法和课堂模式上均与传统数学有着极大差别。

　　内容结构方面，传统数学是算术——整数、分数、小数，加减乘除四则运算等——为主干，加上几何基础以及概率统计的少许入门知识。这些是一个人生活和工作必备的基本数学知识技能。

　　而发现式数学完全抛弃了这个课程结构。它分为算术,模式与关系，几何，概率统计四大部分；而且一至七年级数学，这几个部分一插到底，年年有，轻重不分。

　　这样做的原因，在于决策者对算术的偏见。他们认为算术不过是算数（Calculating）。所以引入了中学的数列和方程等知识——称为模式与关系——以为这样才称得上‘数学’。他们不了解，作为数学基础的算术，自有其丰富的背景、内涵和思维方法，不但实用，对学生能力培养亦起着至关重要的作用。

　　发现式数学实施下来，算术被大大削弱；课时不够，学得不透，练得更少。另一方面，将中学里比较抽象的知识下放到小学，小学生无法招架，也干扰了主要内容的学习。不但学生，不少家长也被搞得一头雾水，叫苦不跌。有些部分如算术数列，即使课程标准的制定者和教材的编写者，其数学知识都不够应付，谬误之处贻笑大方。

　　教学方法是斯托克教授研究报告的重点。顾名思义，‘发现式数学’试图让学生自己探索知识。这一出发点有其道理。传统教学中，不论东方还是西方，都存在着灌输式倾向，启发不够。这是由教材的编写方法和教师水平有限所造成的。鼓励独立探索和创新，向来是西方教育的优势。国内一些教育家提倡‘尝试教学法’，也是为了改变灌输式的弊端。然而，北美的‘发现式数学’，却改得太多，走得太远了。

　　仔细研读‘发现式数学’的教材，会发现很多奇怪现象：

　　1. 图示法泛滥成灾。本来直截了当的四则运算，却要求学生数瓦片（tiles）,相当于掰手指；三年级计算5+7，也要求图示。图示法甚至一直延续到小学毕业，令中、高年级已获得数字和数位概念、具备初步抽象思维能力的小学生退回最原始的方法，可谓‘倒行逆施’。

　　2. 各种类型题目均讲求多种方法，却轻忽了竖式运算等传统的核心方法；令学生莫衷一是，哪种方法也掌握不了。而且有些方法既慢且笨，如计算85-34要学生使用1-100数表，纯属画蛇添足。

　　3. 很多题目答案不确定，比如‘几加几等于37？’之类。实际生活中确实有很多情况答案不确定。但小孩子容易明白有一定之规的东西，慢慢才能了解事物的不确定性。

　　4. 引入很多探索规律类的题目，即寻找‘模式’或曰‘模型’，其中大多为等差数列。这类题目，适当地练习有益于培养归纳思维能力，特别是数学资质好的孩子；但让全体学生反反复复地做，年年做，则得不偿失，浪费时间。

　　5. 中国大陆小学数学课本紧密联系生活实际。讲解概念从实际问题引入，再用于实际问题；使学生得以掌握知识内涵，而非单纯的数字计算。而本地小学数学则远为抽象空洞，难以引起学生兴趣。

　　小学数学教授几千年人类历史演化形成的数学知识，而非科学技术前沿；故天经地义，其课程标准与教材当相对稳定。在原有基础上作少量修订与增删或许是必要的、合理的，但大规模的变动甚至推倒重来肯定出乱子。西方把课程标准的修订当作一种设计，在创新的名义下标新立异；令小学数学疮痍处处，面目全非；令数学教育一落千丈。

　　发现式与传统教学的另一重大差别是课堂教学模式。前者主张学生分散自主学习，反对教师集中授课。分散式教学对一些文科课程有效，而数学等课程更多地需要系统讲解理论，必须集中授课，辅之以分散教学。要知道，全班集中授课并不等于全盘‘灌输’。好的教师都会启发与引导学生，主动参与，积极思考。而学生自主学习则难免盲目、低效甚至无所事事。

　　分散教学亦称‘个性化教学’，为所谓‘21世纪教学’的核心，即照顾孩子学习过程中的个性差异。但人们认识事物的过程存在着共同的规律，否则还能办学校？孩子们只好统统回家了。

　　三

　　小学数学提供全体社会成员必备的数学知识技能与素养，并为中学和大学学习奠定基础；因而对若干年后社会经济与科技发展具有决定性的作用。‘发现式数学’实施十年，已经荒废了很大一批青少年，这种状况不能继续下去了！

　　斯托克教授在报告中提出三项建议：教师在课堂上集中教学；改写数学标准与教材；对中、小学数学教师规定更高的学业要求。

　　在此，笔者进一步提出以下三项建议：

　　一. 教学标准的制定和教材的编写，是关系重大的学术性、研究性工作，须由高层专家担纲。建议联邦政府将基础教育管起来,制定全国统一的课程标准及教材。

　　二．制定教学标准须经深入研究，严格论证；并参照世界各国的成功经验。再不能随意拿千千万万的孩子作试验品。

　　三. 加拿大小学各门不同课程皆由同一位教师教授，事倍而功半，这样的分工体系需要改变。小学教师亦应象中学那样按专业分工，尤其数学教师必须具备足够的专业知识。这样既能够提高教学成效，又可以减轻教师负担。

　　作者：

　　沈乾若 博士

　　北京大学物理系毕业，北京航空航天大学工学硕士，加拿大西蒙菲沙大学数学博士